Question

Впрямоугольном треугольнике катеты равны 6 и 10 найти сумму квадратов длин всех трех его медиан

Answer 1

$AA_1= \frac{1}{2}BC$ (свойство медианы, проведенной к гипотенузе).
По теореме Пифагора найдем гипотенузу BC:
$BC= \sqrt{AB^2+AC^2}= \sqrt{10^2+6^2}= \sqrt{136} =2 \sqrt{34}$
Тогда:
$AA_1= \frac{1}{2}*2 \sqrt{34}= \sqrt{34}$
$AA_1^2=( \sqrt{34} )^2=34$
Из треугольника $ABB_1$ найдем по теореме Пифагора $BB_1^2$. 
$BB_1^2 = AB^2+AB_1^2=10^2+3^2==100+9=109$
Из треугольника $ACC_1$по теореме Пифагора находим $CC_1^2$.
$CC_1^2=AC^2+AC_1^2=6^2+5^2=36+25=61$
Теперь найдем сумму квадратов медиан:
$AA_1^2+BB_1^2+CC_1^2=34+109+61=204$