Понятно, что утверждение верно, если среди чисел есть два одинаковых.
Пусть таких нет
Понятно, что утверждение верно, если среди чисел есть два кратные 7.
Пусть таких нет.
Если есть только одно кратное 7, то его разность квадратов с любым из остальных точно не кратно 7.
Значит речь идет тогда только о 4-х разных числах не кратных 7.
Разность квадратов М*М-Н*Н=(М-Н)*(М+Н)
Если среди 4-х чисел есть такие, что дают одинаковые остатки при делении на 7, то утверждение верно.
Пусть таких нет. Итак есть 4 числа которые дают разные остатки от деления на 7.
Остатки могут быть любые разные от 1 до 6.
Среди любых четырех из них найдется такая пара, что сумма остатков равна 7.
Действительно. Какие бы мы не взяли 4 числа, например с остатками Н1,Н2,Н3 и Н4 надо исключить из набора 4 числа с остатками (7-Н1), (7-Н2), (7-Н3),(7-Н4), а у нас всего 6 возможных остатков.
Это и доказывает утверждение.
ответ: 279720
Пошаговое объяснение:
Найдем количество таких трехзначных чисел, содержащих некоторую цифру 1<=a<=9 в сотнях, десятках или единицах.
Поскольку число a уже заняло свое место, то остается 8 цифр.
Таким образом, общее количество трехзначных чисел, содержащих цифру a в cотнях, десятках или единицах равно 7*8 = 56, ибо еcли на одно из двух незанятых мест в трехзначном числе встанет вторая определенная цифра, то на оставшемся месте может быть 7 цифр.
Таким образом, если сложить все трехзначные числа, содержащие в своей записи неповторяющиеся цифры от 1 до 9, разбив каждое трехзначное число на десятичные составляющие ( к примеру: 578 = 500+70+8), то сумма всех таких составляющих, cодержащих цифру а, равно: 56*a*(100 + 10 + 1) = 111*56*a.
Cумма всех таких трехзначных чисел равно сумме всех таких составляющих со всеми цифрами от 1 до 9, иначе говоря, искомая сумма будет равна:
56*(1+2+3+4+5+...+9)*111 = 56*45*111 = 279720
2)214256:7=30608
3)8*23357=186856
4)30608-360=30248
5)186856+30248=217104