Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x^3-x^2-x+2 на отрезке [-1 ; 3/2]

Answer 1

Находим производную функции и приравниваем ее к нулю. Находим корни уравнения. Так мы найдем критические точки. 
$f'(x)=3x^2-2x-1$
$3x^2-2x-1=0$
$D=4+12=16$
$x_1= \frac{2+4}{2*3} =1; x_2= \frac{2-4}{6}=- \frac{1}{3}$
Обе точки принадлежат отрезку.
Вычислим значения функции в этих точках :
$f(x_1)=1^3-1^2-1+2=1; f(x_2)=( \frac{1}{3} )^3-( \frac{1}{3} )^2- \frac{1}{3} +2= \frac{43}{27} =1 \frac{16}{27}$
Теперь найдем значения функции на концах отрезка:
$f(-1)=(-1)^3-(-1)^2-(-1)+2=1; f( \frac{3}{2} )=( \frac{3}{2} )^3-( \frac{3}{2} )^2-\frac{3}{2} +2=$$\frac{13}{8} =1 \frac{5}{8}$
Мы получили 3 значения функции:
$1; 1 \frac{16}{27}; 1 \frac{5}{8}$
Выбираем отсюда наибольшее и наименьшее.
$max_{[-1; \frac{3}{2} ]}f(x)=f( \frac{3}{2} )=1 \frac{5}{8}$
$min_{[-1; \frac{3}{2} ]}f(x)=f(-1)=f(1)=1$