Question

На доске записаны числа 1, 2, 4, 8, разрешается стереть любые два числа и записать вместо них частное от деления их произведения на их сумму. это действие проделывается, пока на доске не останется одно число. какое наибольшее число может получиться? представьте это число в виде несократимой дроби с положительным знаменателем. в ответ запишите сумму числителя и знаменателя.

Answer 1

Из тех чисел, что написаны на доске, нам нужно получить число вида:
$\displaystyle x= \frac{ab}{a+b}$
Чтобы облегчить нам задачу давайте запишем число обратное:
$\displaystyle \frac{1}{x} = \frac{a+b}{ab} = \frac{1}{b} + \frac{1}{a}$
Получилось, что итоговое обратное число будет равно сумме этих двух чисел, то есть мы можем записать это число как:
$\displaystyle x = \frac{1}{ \frac{1}{x} } = \frac{1}{\frac{1}{b} + \frac{1}{a}}$
И так мы можем записать каждое число, которое будет оставаться на доске:
$\displaystyle \frac{1}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{c} = \frac{1}{b} + \frac{1}{a}}+ \frac{1}{c}$
$\displaystyle \frac{1}{m} = \frac{1}{y} + \frac{1}{d} = \frac{1}{b} + \frac{1}{a}}+ \frac{1}{c} + \frac{1}{d}$
Таким образом, искомое число m будет равно:
$\displaystyle m = \frac{1}{ \frac{1}{m} } = \frac{1}{\frac{1}{b} + \frac{1}{a}+\frac{1}{c} + \frac{1}{d}} } = \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{1}+\frac{1}{4} + \frac{1}{8}}} = \frac{1}{ \frac{3}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8} } = \frac{1}{ \frac{15}{8} } = \frac{8}{15}$
ответ: наибольшее число будет $\frac{8}{15}$