Question

Докажите что, ab(a+b)≤a^3+b^3 если а≥0 b≥0

Answer 1

Допустим, что a<0 и b<0. Распишем сумму кубов: a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2). Тогда ab(a+b)≤(a+b)(a^2-ab+b^2). При a и b<0, (a+b)-отрицательное, а а^2-ab+b^2≥ab, поскольку (a-b)^2≥0 при любых a и b. Тогда сокращением на (a+b) меняется знак неравенства. Имеем ab≥(a^2-ab+b^2) или (a-b)^2≤0, но это неравенство не выполняется, за исключением равенства нулю при равных a и b. Приходим к противоречию, следовательно верное неравенство (a-b)^2≥0 выполняется только при a≥0 и b≥0.