Question

Докажите,что p^2 больше 4q,если известно,что 1+p+q меньше 0

Answer 1

Рассмотрим уравнение $x^2+px+q=0.$  График функции

$f(x)=x^2+px+q,$

стоящей в правой части - парабола, ветви ее направлены вверх, поскольку старший коэффициент положительный. 
Кроме того, по условию f(1)=1+p+q<0, а значит парабола дважды пересечет ось OX, что говорит о том, что уравнение имеет два решения. Следовательно, дискриминант квадратного трехчлена строго положителен, то есть 

$D=p^2-4q\ \textgreater \ 0\Rightarrow p^2\ \textgreater \ 4q,$

что и требовалось доказать.