Question

Решить уравнение комплексного числа:

Answer 1

$z^2 = i = cos \frac{ \pi }{2} +i*sin \frac{ \pi }{2} \\ z_1=cos \frac{ \pi }{4} +i*sin \frac{ \pi }{4} = \frac{ \sqrt{2} }{2} +i* \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ z_2=cos \frac{5 \pi }{4} +i*sin \frac{5 \pi }{4} =-\frac{ \sqrt{2} }{2} -i* \frac{ \sqrt{2} }{2}$

Answer 2

Могу предложить решение без приведения в тригонометрическую форму

число zможно представить как z=ai+b

теперь решаем

$(ai+b)^2-i=0\\-a^2+2abi+b^2-i=0\\(-a^2+b^2)+i(2ab-1)=0$

получили систему

$\left \{ {{b^2=a^2} \atop {2ab-1=0}} \right.$

из первого равенства

$\dispaystyle a=\pm b$

поставим во второе

a=b
$2b^2-1=0\\b^2= \frac{1}{2}\\\\b=\pm \frac{1}{ \sqrt{2}}$

а= -b решений нет

тогда число z:

$z= \frac{1}{ \sqrt{2}}i+ \frac{1}{ \sqrt{2}}\\\\z=-\frac{1}{ \sqrt{2}}i- \frac{1}{ \sqrt{2}}$