Взаключительном туре олимпиады приняло участие 16 восьмиклассников.никакие двое из них не набрали одинакового кол-во . 1) мог ли чащийся, занявщй 1-ое место,набрать 25 , если вместе все ученики набрали 281 ? 2)мог ли учащийся, занявший 1-ое место, набрать 25 , если вместе все участники набрали 219 ,но каждый набрал более 5 ? 3)сколько было презёров, если известно,что каждый из ни набрал не менее 24 ,но не более 30, а вместе они набрали 138
1. Если участник, занявший 1 место набрал то оставшиеся участники вместе набрали 281-25= Поскольку никакие два из них не набрали одинаковое число , то достаточно рассмотреть сумму 15-ти различных натуральных чисел, отличающихся друг от друга на единицу. К примеру:
1+2+3+4+5+6+7+...+15=16*7+8=120. Поскольку 120<256, то участник, занявший первое место мог набрать
2. В этом случае оставшиеся участники набирают вместе 219-25= Поскольку каждый набрал более рассматриваем последовательность 15-ти различных натуральных чисел, начинающуюся с шестерки, числа по прежнему отличаются друг от друга на единицу.
6+7+8+9+10+11+12+...+20=26*7+13=195. Поскольку 195>194, то получаем противоречие. Следовательно, в этом случае участник, занявший первое место не мог набрать
3. Поскольку каждый из призеров набрал 24≤n≤30, а в сумме они набрали то достаточно рассмотреть последовательность 24,25,26,27,28,29 и 30. Замечаем, что 27+28+29+30=114. Приплюсовывая сюда число 24 получаем требуемую сумму 114+24=138. Следовательно призеров было 5.
ответ: 1.Мог 2. Не мог 3. Пятеро.