Question

Кто понимает в дифференциалах? нужна , желательно подробная, т.к. тема для меня незнакомая. вот пример : найти дифференциал второго порядка : z=e^(3x-2y)

Answer 1

Найти дифференциал второго порядка :
Z=e^(3x-2y)

Решение
Найдем частные производный
$\frac{dz}{dx}=(e^{3x-2y})'=e^{3x-2y}*(3x-2y)'=3e^{3x-2y}$
$\frac{dz}{dy}=(e^{3x-2y})'=e^{3x-2y}*(3x-2y)'=-2e^{3x-2y}$
Запишем дифференциал первого порядка
$dz= \frac{dz}{dx} dx+\frac{dz}{dy} dy=3e^{3x-2y}dx-2e^{3x-2y}dy$
Найдем частные производные второго порядка
$\frac{d^2z}{dx^2}=(3e^{3x-2y})=9e^{3x-2y}$
$\frac{d^2z}{dy^2}=(-2e^{3x-2y})=4e^{3x-2y}$
$\frac{d^2z}{dxy}=(3e^{3x-2y})=-6e^{3x-2y}$

Запишем дифференциал второго порядка

$d^2z=\frac{d^2z}{dx^2}dx^2+2\frac{d^2z}{dxdy}dxdy+\frac{d^2z}{dy^2}dy^2=$$=9e^{3x-2y}dx^2-12e^{3x-2y}dxdy+4e^{3x-2y}dy^2$