Question

Найдите точку минимума функции y=x-ln(x+6)+3. нужно подробное решение.

Answer 1

Для нахождения экстремумов (в т.ч. минимумов), нужно взять производную, приравнять её нулю и решить. Полученные значения проверить на максимум и минимум.

$y=x-ln(x+6)+3$
Область допустимых значений x >-6

$y'=(x-ln(x+6)+3)'=1- \frac{1}{x+6} =0 \\ \\ \frac{1}{x+6} =1 \\ \\ x+6=1 \\ \\ x=-5$

Имеем одно экстремальное значение х = -5. Если производная в этой точке меняет знак с минуса на плюс, то это минимум. Для практической проверки следует подставить в выражение производной значение икс несколько меньше (-5) и несколько больше (-5). Обычно следует выбирать такие значение, чтобы легче считалось.

Слева, или меньше (-5) выбираем х = -5,5 (в данном случае нельзя брать меньше минус 6, т.к. выйдем из ОДЗ).
$y'(-5,5) = 1- \frac{1}{-5,5+6} =1- \frac{1}{0,5} =1-2=-1\ \textless \ 0$

Справа, или больше (-5) выбираем х = 0.
$y'(0) = 1- \frac{1}{0+6} =1- \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \ \textgreater \ 0$

Итак, мы видим, что производная (слева направо) меняет свой знак с минуса на плюс. Это означает, что найденный экстремум является минимум. Если было наоборот, то был бы максимум.

$x_{min}=-5 \\ \\ y(-5)=x-ln(x+6)+3=-5-ln(-5+6)+3=-5-ln1+3=-2$