Выпишем все числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Попробуем построить группу, в которой ни одно число не равно сумме двух других, и чтобы в ней было как можно больше чисел. Берем 1, 2. Число 3 нельзя, берем 4. 1, 2, 4. Теперь 5 и 6 нельзя, берем 7. 1, 2, 4, 7. Теперь 8, 9 и 11 нельзя, а 10 можно. 1, 2, 4, 7, 10, теперь 11 и 12 нельзя, осталось 13. Первая группа: 1, 2, 4, 7, 10, 13. Вторую группу начинаем с 3, 5, 6. Числа 8, 9 и 11 нельзя, 12 можно. Вторая группа: 3, 5, 6, 12 Третья группа: 8, 9, 11 Всё!
Для начала рассмотрим треугольники BKM и CHM. В этих треугольниках MК = MН, и, из условий задачи, ∠HCM = ∠MBK. Также известно, что треугольник MHC прямоугольный, а в треугольнике KMH, как равностороннем, все углы равны между собой и составляют 60°. Тогда, учитывая то, что в рассматриваемых треугольниках BKM и CHM нет тупых углов, можно сделать вывод о том, что они равны между собой. Следовательно, BK = CH и ∠BKM = ∠АКM = ∠CHM = 90°. Далее, в прямоугольных треугольниках BKM и CHM сумма углов при вершине M равна (180° – ∠HMK) = 180° – 60° = 120°, откуда получаем, что ∠DCM = ∠DBM = 30°. Поэтому в треугольнике ABC - ∠ACB = 60°, ∠ABC = 30° и ∠BAC = 90°. И тогда очевидно, что треугольник ACM — равносторонний, и потому CD перпендикулярна AM, а, следовательно, точки M, H и A лежат на одной прямой.
17 - 00010001