Равенства, указанные в приведенном примере, называются арифметическими прогрессиями, приём же вычисления последовательных нечётных чисел состоит в том, что каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов, или, алгебраически: S=1+3+...+(2n–3)+(2n–1), тогда 2S=(2n–1+1)n=2n², следовательно, S=n². 1) Проверяя это утверждение, вычислим: 1+3=4 и 2²=4 — верно; 1+3+5=9 и 3²=9 — верно; 1+3+5+7=16 и 4²=16 — верно; 2) Пользуясь этим приёмом, можем легко найти А) Сумму первых десяти нечётных чисел: 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10²=100; Б) Сумму всех нечётных чисел от 1 до 99: 1+3+5+7+...+95+97+99=50²=2500.
Пусть 1^3+2^3+...+n^3=(1+ 2+ ...+ n)^2=А(очевидно, что А>0) 1) n=1 имеем 1^3=1^2. Верно. 2) Допустим, что наше равенство верно для числа n. Докажем, что равенство верно и при n+1. Тогда исходное равенство примет вид (1^3+2^3+...+n^3)+(n+1)^3=((1+ 2+ ...+ n)+(n+1))^2 A+(n+1)^3=(√А+(n+1))^2 A+(n+1)^3=А+2√А*(n+1)+(n+1))^2 (n+1)^3=2√А*(n+1)+(n+1)^2 Так как n натуральное, то (n+1)>0, поэтому разделим обе части нашего уравнения на (n+1) (n+1)^2=2√А*+(n+1) n^2+2n+1=2(1+ 2+ ...+ n)+n+1 n^2+n=2(1+ 2+ ...+ n) Заметим, что 1+ 2+ ...+ n - сумма арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, разностью, равной 1. Тогда количество членов в ней равно n. Тогда n^2+n=2((1+n)/2)*n n^2+n=n^2+n Верно. Значит равенство верно при любых натуральных n
Бу 1966-68 елларда эшләгән әдәби хезмәткәре Илишевской район газетасы (Башкирская АССР). 1973 елда Казан дәүләт университетын тәмамлый.
Университетны тәмамлаганнан соң, 1973-77 елларда иде газетасы корреспондентына, "Яшь ленинчы". Бу 1977-83 елларда эшләгән редакция "Казан утлары" журналы: бүлеге мөхәррире, аннан соң җаваплы секретаре. Белән, 1979 елда — КПСС члены. Бу 1983-86 елларда — баш мөхәррире, Татар телевидениесе. Бу 1986-95 елларда — газетасының баш мөхәррире, "Яшь ленинчы" (1990 елда — "Сабантуй"). 1990 елда — татарстанның халык депутаты, Татарстан Республикасы. Бу 1995-2000 елларда җитәкләгән даими Комиссиясенә, ТР Дәүләт советының мәдәният һәм милли мәсьәләләр. 2000 нче елдан бирле били ТР Дәүләт советы Рәисе урынбасары.
Шагыйрь, публицист, журналист. Автор 34 китап татар, рус һәм башкорт телләрендә. Өйләнгән, улы һәм кызы бар.
Атказанган сәнгать эшлеклесе, Татарстанның, Башкортстанның атказанган мәдәният хезмәткәре.
Мактау грамотасы белән бүләкләнде. Дәүләт премиясе лауреаты. Г. Тукай исемендәге республика премияләре аларга. М. Җәлил һәм А. Алиш, халыкара әдәбият премиясе. Андерсена