Чтобы разложить вектор х по векторам р, q и r, мы можем использовать метод подстановки. Мы хотим найти коэффициенты a, b и c такие, что х = a * р + b * q + c * r.
Давайте приступим к решению:
Пусть х = а * р + b * q + c * r.
Заменяем значения векторов:
(8,1,12) = а * (1,2,-1) + b * (3,0,2) + c * (-1,1,1).
Раскрываем скобки:
(8,1,12) = (а,2а,-а) + (3b,0,2b) + (-c,c,c).
Собираем одинаковые компоненты в одну:
8 = а + 3b - с,
1 = 2а + с,
12 = -а + 2b + с.
Теперь у нас есть система уравнений:
а + 3b - с = 8,
2а + с = 1,
-а + 2b + с = 12.
Мы можем решить эту систему уравнений методом замещения или методом матриц. Давайте воспользуемся методом замещения:
Из второго уравнения получаем с = 1 - 2а.
Подставляем это значение с в первое и третье уравнения:
а + 3b - (1 - 2а) = 8,
-а + 2b + (1 - 2а) = 12.
Упрощаем:
а + 3b + 2а - 1 = 8,
-а + 2b + 1 - 2а = 12.
Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными. Давайте решим их последовательно.
Из первого уравнения выразим b:
3b + 3а = 9,
3b = 9 - 3а,
b = 3 - а.
Теперь подставим это значение b во второе уравнение:
-а + 2(3 - а) + 1 - 2а = 12.
Раскрываем скобки:
-а + 6 - 2а + 1 - 2а = 12.
Собираем a и -а вместе:
-5а + 7 = 12.
Вычитаем 7 из обеих сторон:
-5а = 5.
Делим на -5:
а = -1.
Теперь, когда у нас есть значение а, мы можем найти значения b и с:
b = 3 - (-1) = 4,
с = 1 - 2*(-1) = 3.
Итак, разложение вектора х по векторам р, q и r будет:
х = -1 * р + 4 * q + 3 * r.
Подставим значения векторов:
х = -1 * (1,2,-1) + 4 * (3,0,2) + 3 * (-1,1,1).
Выполняем умножение:
х = (-1, -2, 1) + (12, 0, 8) + (-3, 3, 3).
Складываем векторы для получения окончательного ответа:
х = (8, 1, 12).
Таким образом, разложение вектора х по векторам р, q и r будет х = (8, 1, 12).
8=x+3y-z 1=2x+z 12= -x+2y+x
Последнее не так, 12=-x+2y+z
Решение х= -1 y=4 z=3
x= -p+4q+3r