Question

Записать комплексные числа в форме
z=5(cos 11π\6+i sin11 π\6)

Answer 1

Хорошо, давайте разберемся, как записать это комплексное число в форме z = a + bi.

Для начала, давайте вспомним, что комплексное число представляет собой комбинацию действительной и мнимой части. В данном случае, действительная часть будет равна 5*cos(11π/6), а мнимая часть - 5*sin(11π/6).

Шаг 1: Вычислим действительную часть
cos(11π/6) - это косинус угла 11π/6.
Для удобства, вспомним значения косинуса и синуса для углов, кратных 30 градусам:

cos(π/6) = √3/2
sin(π/6) = 1/2

Теперь, у нас есть формула:
cos(11π/6) = cos(π/6 + π) = cos(π/6)cos(π) - sin(π/6)sin(π)

Используя значения косинуса и синуса, получим:
cos(11π/6) = (√3/2)(-1) - (1/2)(0)
= -√3/2

Таким образом, действительная часть комплексного числа равна -√3/2.

Шаг 2: Вычислим мнимую часть
sin(11π/6) - это синус угла 11π/6.

Используя значения косинуса и синуса, получим:
sin(11π/6) = sin(π/6 + π) = sin(π/6)cos(π) + cos(π/6)sin(π)

Используя значения косинуса и синуса, получим:
sin(11π/6) = (1/2)(-1) + (√3/2)(0)
= -1/2

Таким образом, мнимая часть комплексного числа равна -1/2.

Шаг 3: Записываем комплексное число в форме z = a + bi
Поскольку мы уже вычислили значение для действительной и мнимой частей, можем записать их в форме z = a + bi:

z = -√3/2 - (1/2)i

Это и есть запись комплексного числа в нужной форме.

Обоснование: Комплексные числа в форме z = a + bi позволяют представлять некоторые математические объекты более удобным и компактным способом. Эта запись позволяет выполнять операции с комплексными числами, такие как сложение, вычитание и умножение, с помощью более простых правил и методов.

Поэтому, комплексные числа в форме z = a + bi очень полезны в математике и физике для решения различных задач и проблем.