Question

1.составить каноническое уравнение прямой проходящей через точки m1(2,-4,-7)m2(7,2,7) 2.записать уравнение прямой х+9/5=у-1/4=z+2/1 в параметрической форме. 3. уравнение 16х^2+36у^2+9z^2 +64x-144y+54z=0 к каноническому виду,найти его полуоси и координаты центра.(эллипсоид)

Answer 1

1) Каноническое уравнение прямой в пространстве, проходящей через точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2) имеет вид:
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1). Подставляя координаты точек М1 и М2, получаем: (x-2)/5=(y+4)/6=(z+7)/14. ответ: (x-2)/5=(y+4)/6=(z+7)/14.

2) (x+9)/5=(y-1)/4=(z+2)/1=t⇒x=5*t-9, y=4*t+1, z=t-2. ответ: x=5*t-9, y=4*t+1, z=t-2.

3) 16*x²+36*y²+9*z²+64*x-144*y+54*z=16*(x²+4*x)+36*(y²-4*y)+9*(z²+6*z)=16*[(x+2)²-4]+36*[(y-2)²-4]+9*[(z+3)²-9]=16*(x+2)²+36*(y-2)²+9*(z+3)²-289=0, 16*(x+2)²+36*(y-2)²+9*(z+3)²=289, 16*(x+2)²/289+36*(y-2)²/289+9*(z+3)²/289=1, (x+2)²/(289/16)+(y-2)²/(289/36)+(z+3)²/(289/9)=1. Но 289/16=(17/4)², 289/36=(17/6)², 289/9=(17/3)², и уравнение принимает вид: (x+2)²/(17/4)²+(y-2)²/(17/6)²+(z+3)²/(17/3)²=1. Вспоминая уравнение эллипсоида x²/a²+y²/b²+z²/c²=1, заключаем, что перед нами - уравнение эллипсоида с центром в точке O(-2,2,-3) и полуосями a=17/4, b=17/6, c=17/3. ответ: эллипсоид с центром в точке O(-2,2,-3) и полуосями a=17/4, b=17/6, c=17/3.