Question

Точки a(1; -1; 1), b(-1; 0; 0), c(0; 0; 1) и d(0; -2; 1) являются вершинами тетраэдра. 1. поверить, что точки a,b,c, d не лежат в одной плоскости. 2. найти: – объём тетраэдра; – длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины d; – расстояние между скрещивающимися рёбрами ad и bc; – уравнение плоскости, проходящей через точки a, b, c .

Answer 1

1) Находим уравнение плоскости  ABC.
   АВС:  x + y - z + 1 = 0.
   Подставим в него координаты точки Д(0;-2;1):
    0 - 2 - 1 + 1 ≠ 0.   Доказано.

2)                                                              x     y     z
    Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA}     -2     1    -1
    Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA}    -1     1      0.
Произведение векторов a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}.
                 x     y      z
AB*AC =  1     1     -1.
Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA}     -1    -1     0.
Объем пирамиды равен:
V = (1/6)*|(1*(-1)+1*(-1)+(-1)*0)| = (1/6)*|-1-1-0|.
V = (1/6) * 2 = 1/3 = 0,3333.