Для розв'язання нерівностей з логарифмами, ми використовуємо властивості логарифмів та алгебраїчні перетворення. Давайте розв'яжемо кожну нерівність окремо:
4) (3 - 2x)log₀.₁x < 0: Звертаємо увагу, що основа логарифма ₀.₁ менше одиниці. Тому знак нерівності змінюється при множенні на від'ємне число. Ділимо обидві частини на (3 - 2x): log₀.₁x < 0.
Для отримання остаточного розв'язку, ми повинні враховувати області допустимості для кожної нерівності. Наприклад, в 2) ми маємо x² - 3x > 0, тому x ≠ 0 і x ≠ 3. Враховуючи це, можемо продовжити знаходження розв'язків для кожної нерівності окремо, застосовуючи властивості логарифмів та алгебраїчні перетворення.
Эту логическую задачу можно разрешить двумя 1) Первый заключается в последовательном предположении о количестве честных и нечестных гномов и последующей проверке логикой каждого нашего предположения; для начала допустим, что все двенадцать гномов лгуны, проверяем логику — первый гном, заявив «здесь нет ни одного честного гнома», сказал правду, значит, не выполняется наше первоначальное «все двенадцать лгуны»; для варианта «один гном честен» логика опять нарушена, ведь тогда выходит, что 2-ой, 3-ий, 4-ый и далее до 12-го гнома сказали правду, а мы предположили, что такой только один. Нетрудно убедиться, что применяя такой же алгоритм далее (последовательно предполагая, что 2-е, 3-е, 4-ро, 5-ро, 6-ро, 7-ро, 8-ро, 9-ро, 10-ро, 11-ро, 12-ро гномов говорят правду) мы почти во всех случаях получим сбой логики, исключение же составит только случай, когда правдивых гномов шестеро, ведь именно для этого варианта логика соблюдается: только седьмой, восьмой, девятый и далее до двенадцатого гномов не грешат против правды. Таким образом мы приходим к выводу, что на самом деле на полянке собралось шестеро честных и шестеро нечестных гномов. 2) Второй весьма близок к «эвристическому методу» - мы допускаем (помня про 50-ти процентную вероятность выпадения «орла» и «решки» при бросании монеты), что первые шесть гномов врут, а оставшиеся шесть — говорят правду. Проверяя такое предположение, приходим к выводу: если бы врущих было пять или меньше пяти, то правду сказали бы по крайней мере семь гномов – с шестого по двенадцатый, что не отвечает логике, а если бы говорящих правду гномов было семь или больше, то тогда выходит, что первые семь гномов солгали, то есть лжецов по крайней мере семь, но два раза по семь больше двенадцати, следовательно, наше первичное предположение: 6+6 — верно.
