Пошаговое объяснение:
ДАНО: y = (x²+4)/x
ИССЛЕДОВАНИЕ.
1. Область определения: D(y)= R\{0} , X∈(-∞;0)∪(0;+∞). Не допускаем деления на 0 в знаменателе.
2. Разрыв II-го рода при Х = 0. Вертикальных асимптота - Х = 0.
3. Наклонная асимптота: k = lim(+∞)Y(x)/x = 1
b = 0 и y(x) = x - асимптота.
4. Нули функции, пересечение с осью ОХ.
x²+4 = 0 . Нулей функции нет.
5. Интервалы знакопостоянства.
Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;0). Положительна: Y>0 - X∈(0;+∞;)
6. Проверка на чётность.
Функция нечётная: Y(-x) = -Y(x) ,
7. Поиск экстремумов по первой производной.
y'(x) = 2 - (x²+4)/x² = (x²-4)/x² = 0.
x² - 4 = (x - 2)*(x+2) = 0
x1 = -2, x2 = 2 - точки экстремумов.
8. Локальный максимум: y(-2) = - 4, минимум: y(2) = 4.
9. Интервалы монотонности.
Возрастает - X∈(-∞;-2)∪(2;+∞). Убывает: X∈(2;0)∪(0;2).
10. Поиск перегибов по второй производной.
y"(x) = 2/x - 2*(x²-4)/x³ = 8/x³ = 0
Точки перегиба нет, кроме разрыва при Х = 0.
11. Вогнутая - "ложка"- X∈(0;+∞;), выпуклая - "горка" - X∈(-∞;0);
12. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).
13. График функции на рисунке в приложении.
