Question

Найти площади фигур,ограниченных линиями. y= x2(в квадрате) -2x+2 ; y=x

Answer 1

Площадь фигуры будет равна разности определенных интегралов.
Пределы интегрирования берем с графика (от 1 до 2) или решаем аналитически уравнение $x^{2} -2x+2 = x$
 
$S = \int\limits^2_1 {x} \, dx - \int\limits^2_1 {( x^{2} -2x+2)} \, dx = \int\limits^2_1 {(- x^{2} +3x-2)} \, dx = \\ \\ = {\int\limits_{1}^{2}\left({- {{x}^{2}}}\right){d}{x}}+{\int\limits_{1}^{2}{3 x}{d}{x}}+{\int\limits_{1}^{2}\left({-2}\right){d}{x}} = \\ \\ = {\left.\left({-\frac{1}{3} {{x}^{3}}}\right)\right|_{1}^{2}} + {\left.{\frac{3}{2} {{x}^{2}}}\right|_{1}^{2}} + {\left.\left({-2 x}\right)\right|_{1}^{2}} = -\frac{7}{3} + \frac{9}{2} -2 = \frac{1}{6}$