f(x,y)=(2х+y+3)^2+(3x-2y+8)^2
Найдем частные производные
df/dx=2(2x+y+3)*2+2(3x-2y+8)*3=8x+4y+12+18x-12y+48=26x-8y+60
df/dy=2(2x+y+3)*1+2(3x-2y+8)*(-2)=4x+2y+6-12x+8y-32=-8x+10y-26
И приравняем их к нулю
26x-8y+60=0
-8x+10y-26=0
Первое уравнение умножим на 10, а второе на 8
260x-80y+600=0
-64x+80x-208=0
Сложим оба уравнения
196x+392=0
x=2
Определим y
26x-8y+60=0 =>26*2-8y+60=0 =>8y=8 =>y=1
Точка М(x; y)=M(2; 1) - Стационарная
Найдем вторые производные
A=d^2xdx^2=26
B=d^2x/dxdy=-8
C=d^2y/dy^2=10
Дискриминант = AC-B^2=260-64=196>0
То есть Дискриминант >0 и А>0, значит точка М(2;1)- точка минимума
В этой точке функция f(x;y) принимает значение
f(x,y)=(2х+y+3)^2+(3x-2y+8)^2=(2*2+1+3)^2+(3*2-2*1+8)^2=8^2+(12)^2=64+144=208
1)
а) 8x = -62,4 + 5x
8x - 5х = -62,4
3х = -62,4
х = -20,8
б) 0,6(x + 7) = 0,5(x - 3) + 6,8
0,6x + 4,2 = 0,5x - 1,5 + 6,8
0,6х - 0,5х = - 1,5 + 6,8 - 4,2
0,1х = 1,1
х =1,1 : 0,1
х = 11
2)
Пусть х (л) - во второй бочке, тогда 2х (л) - в первой
Составим уравнение:
2х - 78 = х + 42
2х - х = 42 + 78
х = 120 (л) - - во второй бочке,
тогда 2х = 2*120 = 240 (л) - в первой
3) Автобус проходит за 5 часов такое расстояние как автомобиль за 3 часа. Найдите скорость автобуса, если она на 26 км\ч меньше скорости автомобиля.
Пусть х (км/ч) - скорость автобуса, тогда х+26 (км/ч) - скорость автомобиля.
5х (км) - расстояние, которое проезжает автобус за пять часов
3*(х+26) (км) - расстояние, которое проезжает автомобиль за 3 часа
Эти расстояния равны:
5х = 3(х+26)
5х = 3х+78
5х - 3х = 78
2х = 78
х = 39 (км/ч) - скорость автобуса
х+26 = 39 + 26 = 65 (км/ч) - скорость автомобиля.
Разложим 99 монет подряд рядами по 10 монет. Получим 10 рядов и 10 столбцов:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
И т.п.:
31 .. 40
41... 50
51... 60
61... 70
71... 80
81...90
91... 99 - неполный ряд.
В каждом из этих рядов может оказаться по меньшей мере часть из 10 фальшивых монет.
Неполный ряд откладываем в сторону. Если бы в этой кучке лежат фальшивые монеты, идущие подряд вплоть до 99 номера, то этих монет всего 9, а десятая монета должна лежит в последнем столбце 9-ряда
Берем из каждого из оставшихся рядов по одной последней монете.
Если, к примеру фальшивые монеты лежат, к примеру, подряд с 6 по 15-ю, то мы обязательно при таком подходе возьмем фальшивую. Она будет 10-й.
Например:
1 2 3 4 5 6ф 7ф 8ф 9ф 10ф
11ф 12ф 13ф 14ф 15ф 16 17 18 19 20.
Видно, что какие бы мы монеты не собирали из каждого ряда, соблюдая условие, что из каждого ряда мы берем монеты из последнего столбца, мы всегда прихватим фальшивую монету.
Таким образом мы собрали 9 монет.
Разбиваем их на 3 кучки.в любой из них может находиться одна фальшивая монета.
Итак, мы имеем три кучки по 3 монеты из основной массы монет и 9 отложенных монет.
Если все 9 отложенных монет фальшивые, то 10-я фальшивая монета была под номером 90. И эта 90-я монета окажется в третьей кучке.
Так сто рассматриваем только три кучки.
1 вариант
1-ое взвешивание:
На одну чашу кладем 3 монеты из первой кучки, на вторую - 3 монеты из 2-й кучки.
Если на одной из чаш масса меньше, то мы производим
2-ое взвешивание:
Снимаем с чаши весов кучку с большей массой и убираем. Она нам больше не нужна.
Из кучки с меньшей массой одну монету снимаем с весов и кладем на стол, вторую кладем на пустую чашу.
Сравниваем массы двух монет на чашах весов.
Более легкая монета - фальшивая.
Если масса монет одинаковая. То фальшивая монета - снятая с весов и положенная на стол.
2-й вариант
В случае, если две кучки по 3 монеты имели одинаковую массу, то снимаем их с весов и убираем. Они нам больше не нужны. Тогда второе взвешивание будет выглядеть следующим образом:
2-ое взвешивание:
Берем отложенную третью кучку из 3 монет.
Кладем по одной монете на чаши весов. Третью оставляем на столе. Сравниваем две монеты на чашах весов.
Более легкая монета - фальшивая.
Если масса монет одинаковая. То фальшивая монета - оставленная на столе.