34 и 43
Пошаговое объяснение:
Пусть a и b цифры двузначного числа. Тогда по условию задачи
a · b · (a + b) = 84
Разложим число 84 на цифровые множители: 84=2·2·3·7.
Рассмотрим возможности получения цифр числа:
1) a · b · (a + b) = 4 · 3 · 7
a = 4, b = 3 и (a + b) = 7, подходит, тогда число 43;
2) a · b · (a + b) = 3 · 4 · 7
a = 3, b = 4 и (a + b) = 7, подходит, тогда число 34.
3) a · b · (a + b) = 2 · 6 · 7
a = 2, b = 6 и (a + b) = 8≠7, не подходит,
a = 6, b = 2 и (a + b) = 8≠7, не подходит,
a = 2, b = 7 и (a + b) = 9≠6, не подходит,
a = 7, b = 2 и (a + b) = 9≠6, не подходит,
a = 6, b = 7 и (a + b) = 13≠2, не подходит.
Для начала докажем то, что называется неравенством Коши-Буняковского-Шварца:
Рассмотрим два набора чисел: 
и 
.
Тогда выполнено неравенство: 
;
Это неравенство можно доказывать по-разному. Заметим, что скалярное произведение векторов 
и 
есть 
, где 
- координаты составляющих вектора. Поскольку скалярное произведение векторов всегда не превосходит произведения модулей векторов (так как 
), то отсюда немедленно следует неравенство (ведь сумма квадратов в рассматриваемом неравенстве - это квадрат модуля вектора).
__________________________
Сделаем замену: 
; Получим неравенство: 
Полагая 
и 
, получим: 
