Question

Решить неопределенные интегралы и сделать проверку дифференцированием. (5х+1)dx/x²+2x-15, и x·e³ˣdx

Answer 1

$\int \frac{(5x+1)dx}{x^2+2x-15}=\int\frac{(5x+1)dx}{(x+5)(x-3)}=3\int\frac{dx}{x+5}+2\int\frac{dx}{x-3}=\\=3\int\frac{d(x+5)}{x+5}+2\int\frac{d(x-3)}{x-3}=3ln|x+5|+2ln|x-3|+C\\\\\\\frac{5x+1}{(x+5)(x-3)}=\frac{A}{x+5}+\frac{B}{x-3}=\frac{3}{x+5}+\frac{2}{x-3}\\5x+1=A(x-3)+B(x+5)\\x|5=A+B=\ \textgreater \ A=5-B\\x^0|1=-3A+5B\\1=-15+3B+5B\\8B=16\\B=2\\A=5-2=3$

Проверка:
$(3ln|x+5|+2ln|x-3|+C)'=\frac{3}{x+5}+\frac{2}{x-3}=\frac{3(x-3)+2(x+5)}{(x+5)(x-3)}=\\=\frac{5x+1}{x^2+2x-15}$
------------------------------------------------------------------------
$\int xe^{3x}dx=\frac{x}{3}e^{3x}-\frac{1}{3}\int e^{3x}dx=\frac{x}{3}e^{3x}-\frac{1}{9}e^{3x}+C\\\\\\u=x=\ \textgreater \ du=dx\\dv=e^{3x}dx=\ \textgreater \ v=\frac{1}{3}e^{3x}$

Проверка:
$(\frac{x}{3}e^{3x}-\frac{1}{9}e^{3x}+C)'=\frac{1}{3}*e^{3x}+x*e^{3x}-\frac{1}{3}*e^{3x}=xe^{3x}$