Question

Дан треугольник abc : a(6; 4),b(-3; 5),c(-2; -6).найти уравнение медианы bk; координаты точки пересечения высот треугольника abc; tg угла b

Answer 1

1) Медиана - отрезок, соединяющий вершину треугольника со серединой противоположной стороны.
$\\K({x_a+x_c\over2};{y_a+y_c\over2})\\ K(2;-1)\\ BK:{x+3\over2+3}={y-5\over-1-5}\\\\ BK:-6x-18-5y+25=0\\\\ BK:6x+5y-7=0$
2) Достаточно найти уравнения 2 высот, чтобы найти координаты точки пересечения.
Найдём уравнение прямой AC:
(x-6)/(-2-6)=(y-4)/(-6-4)
AC: -10x+60+8y-32=0
AC:10x-8y-28=0
AC: 5x-4y-14=0
Угловой коэффициент k прямой AC равен 5/4
высота BH₁ перпендикулярна стороне AC⇒  по свойству перпендикулярности k(AC)*k(BH₁)= -1⇒ k(BH₁)= -(4/5)
Зная k(BH₁), мы можем составить уравнение BH₁:
для этого мы возьмем уравнение пучка прямых, проходящих через точку B ( y-y₀=k(x-x₀) )
BH₁: y-5= -(4/5)*(x-(-3))
BH₁: y-5+(4/5)*x+(12/5)=0
BH₁: 4x+5y-13=0 - первая высота найдена
Теперь найдём вторую высоту, например AH2
найдем угловой коэффициент прямой BC:
BC: (x+3)/(-2+3)=(y-5)/(-6-5)
BC: -11x-33-y+5=0
BC: 11x+y+28=0
k(BC)= -11⇒k(AH₂)= (1/11)
Составим уравнение высоты AH₂:
Снова нужны координаты точки А и уравнение пучка прямых, проходящих через неё:
AH₂: y-4= (1/11)*(x-6)
AH₂: y-4-(1/11)*x+(6/11)=0
AH₂: x-11y+38=0

Сейчас составляем систему уравнений и находим точку пересечения этих двух прямых:

x-11y+38=0
4x+5y-13=0

Метод Гаусса:
1 -11  -38              1   -11  -38    
                  ⇒
4   5   13               0    49  165

49y=165
y=165/49

x-11*(165/49)= -38
x=(11*165)/49-38
x=(11*165-49*38)/49
x= -(47/49)
Пусть N - точка пересечения высот, тогда N(-47/49;165/49)

3)
Тангенс угла между двумя прямыми y=k1x+b1,y=k2x+b2y=k1x+b1, y=k2x+b2на плоскости определяется по формуле tg α=(k2−k1)/(1−k1*k2)

Нам нужны 2 прямые: BA и BC
BC уже найдено:11x+y+28=0
осталось найти BA
BA: (x+3)/(6+3)=(y-5)/(4-5)
BA: -x-3-9y+45=0
BA: x+9y-42=0

k(BC)= -11
k(BA)= -(1/9)
tg∠B= (-11-(-1/9))/(1-(-11*(-1/9)))=49