Question

Найти производные функции (дифференцирование функций): 1) y = √(4x^3+3) 2) y = (2x+5)^4 3) y = ln ctg(x) 4) y = e^(2cos(x)) 5) y = sin(3x+1) 6) y = 2^arctg(x)

Answer 1

1) Корень представим в виде степени. Затем по правилам дифференцирования сложной функции - производная степенной функции (весь квадратный корень) умножается на производную степенной функции (то, что под корнем):

$y' = ( \sqrt{4x^3+3} )' = ((4x^3+3)^{ \frac{1}{2} })' = \frac{1}{2} (4x^3+3)^{ \frac{1}{2}-1} *(4x^3+3)' = \\ \\ = \frac{1}{2} (4x^3+3)^{ -\frac{1}{2}} *12x^2 = \frac{6x^2}{ \sqrt{4x^3+3} }$

2) Тоже сложная функция, делается аналогично предыдущему:

$y' = ((2x+5)^4)' = 4(2x+5)^{4-1} *(2x+5)' =4(2x+5)^3 *2 = \\ \\ = 8 (2x+5)^{3}$

3) Функция сложная. Сначала производная от логарифма, затем от котангенса:

$y' =( ln (ctgx))' = \frac{1}{ctgx} *(ctgx)' = tgx * (- \frac{1}{sin^2 x}) = - \frac{tgx}{sin^2 x}$

4) Функция сложная. Сначала производная от показательной функции, затем от показателя (т.е. от косинуса):

$y' = (e^{2cosx})' = e^{2cosx} * (2cosx)' = e^{2cosx} * (-2sinx) = -2sinx * e^{2cosx}$

5) Производная от синуса, плюс производная того, что под синусом:

$y' = (sin(3x+1))' = cos(3x+1)*(3x+1)' = 3cos(3x+1)$

6) Сложная функция. Сначала производная от показательной функции, затем от показателя (т.е. от арктангенса):

$y' = (2^{arctgx})' = 2^{arctgx} *ln2 *({arctgx)' = 2^{arctgx} *ln2 * \frac{1}{1+x^2}$