Question

Вряд выписаны натуральные числа от 1 до некоторого n n когда одно из чисел удалили, оказалось, что среднее арифметическое оставшихся равно 40+3\4 найдите число, которое удалили.

Answer 1

Пусть удалили число m, тогда осталось (n - 1) число, сумма оставшихся чисел 1 + 2 + ... + (m - 1) + (m + 1) + ... + n = n (n + 1) / 2 - m.
Эта сумма по условию равна 40 3/4 * (n - 1).

Так как в знаменателе у среднего арифметического 4, значит, (n - 1) делится на 4, чтобы сумма была целой. Пусть n - 1 = 4k, составляем уравнение:
(4k + 1) * (4k + 2) / 2 - m = 40 3/4 * 4k
(2k + 1) * (4k + 1) - m = 163k
m = 8k^2 - 157k + 1

Нужно, чтобы было выполнено неравенство 1 <= m <= n + 1 = 4k + 2. Посчитаем, при каких k это будет так.

Первое неравенство:
8k^2 - 157k + 1 >= 1
8k^2 - 157k >= 0
8k - 157 >= 0
k >= 157/8
k >= 20

Второе неравенство:
8k^2 - 157k + 1 <= 4k + 2
8k^2 - 161k - 1 <= 0

Решать такое неравенство не хочется, так что заметим, что оно выполнено для всех k от 1 до некоторого k0, и k0 найдём подбором.

k = 20: 8 * 400 - 161 * 20 - 1 = -21 <= 20
k = 21: 8 * 441 - 161 * 21 - 1 = 146 > 0

Второе неравенство выполнено при k <= 20.

Итак, 20 <= k <= 20, т.е. k = 20.
Тогда m = 8k^2 - 157k + 1 = 61.

ответ: 61.