Question

Решить уравнение: y''+2y'-3y=16xe^-x

Answer 1

Классификация. Дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами c правой частью.
Общее решение дифференциального уравнения будем искать в следующем виде:
                                                   Уо.н. = Уо.о. + Уч.н.
Где Уо.о. - общее решение однородного уравнения, Уч.н. - частное решение.
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
                 $y''+2y-3y=0$
Воспользуемся методом Эйлера. Пусть $y=e^{kx}$, в результате замены переменной получаем следующее уравнение
    $k^2+2k-3=0$  -  характеристическое уравнение.
Корни характеристического уравнения определяются по теореме Виета. и эти корни будут $\boxed{k_1=1}$ и $\boxed{k_2=-3}$
Запишем общее решение однородного уравнения:
       $y_{o.o.}=C_1y_1+C_2y_2=C_1e^x+C_2e^{-3x}$

2) Рассмотрим правую часть данного уравнения: $f(x)=16xe^{-x}$
      $P_n(x)=16x;~~~~~ \boxed{n=1};~~~~~~~~~ \boxed{\alpha =-1}$
Сравнивая $\alpha$ с корнями характеристического уравнения и, принимая во внимая, что $n=1$, частное решение будем искать в виде:
                               Уч.н. = $(Ax+B)e^{-x}$
Найдем первую и вторую производную частного решения
$y'=((Ax+B)e^{-x})'=-(Ax+B)e^{-x}+Ae^{-x}\\ y''=e^{-x}(Ax+B)-Ae^{-x}-Ae^{-x}=e^{-x}(Ax+B-2A)$
Найденные производные подставим в исходное уравнение, сократив $e^{-x}$:
$(Ax+B-2A)+2(-Ax-B+A)-3Ax-3B=16x\\ Ax+B-2A-2Ax-2B+2A-3Ax-3B=16x\\ -4Ax-4B=16x$

Приравнивая коэффициенты при степени х
 $\displaystyle \left \{ {{-4A=16} \atop {-4B=0}} \right. ~~~~\Rightarrow~~~~~ \left \{ {{A=-4} \atop {B=0}} \right.$

Итак, частное решение имеет следующий вид: Уч.н. = $-4xe^{-x}$

Общее решение неоднородного уравнения: Уо.н.=$C_1e^x+C_2e^{-3x}-4xe^{-x}$