Периметр прямоугольного треугольника равен 60 см. Высота, проведенная к гипотенузе, равна 12 см. Найти площадь треугольника.
* * *
Площадь треугольника равна произведению радиуса r вписанной окружности на полупериметр р
Формула радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности
r=(a+b-c):2 , где а и b - катеты, c -гипотенуза.
a+b=P-с=60-c
r=(60-c-c):2=30-c
По другой формуле
r=S:p
S=h*c:2
S=12*c:2=6c
р=60:2=30
r=6c/30=c/5
Приравняем найденные значения радиуса
c/5=30-c
150-5c=c
6c=150
c=25 см
r=25/5=5 см
S=r*p=5*30=150 см²
Р = 2(a + b), где a и b - стороны прямоугольника
Пусть а = х дм, тогда b = (5х) дм.
2(х + 5х) = 48
2 · 6х = 48
12х = 48
х = 48 : 12
х = 4
Значит, а = 4 дм, а b = 5 · 4 = 20 дм.
Тогда площадь прямоугольника равна 4 · 20 = 80 (дм²)
ответ: 80 дм².