Question

Найти общее решение дифференциального уравнения: 2x^2y'=x^2+y^2; yy'=2y-x

Answer 1

Линейное однородное дифференциальное уравнение 
$2x^2y'=x^2+y^2\\y=tx;y'=t'x+t\\2x^2(t'x+t)=x^2+t^2x^2|:x^2\\2\frac{dt}{dx}x+2t=1+t^2\\\frac{2xdt}{dx}=t^2-2t+1|*\frac{dx}{x(t^2-2t+1)}\\\frac{dx}{x}=\frac{2dt}{t^2-2t+1}\\\int\frac{dx}{x}=2\int\frac{d(t-1)}{(t-1)^2}\\ln|x|=-\frac{2}{t-1}+C\\ln|x|+\frac{2}{\frac{y}{x}-1}=C\\ln|x|+\frac{2x}{y-x}=C$
В результате деления на t^2-2t+1 мы теряем возможное решение: x=y, проверяем:
$y=x\\y'=1\\2x^2y'=x^2+y^2\\2x^2=x^2+x^2\\2x^2=2x^2$
y=x является решением дифференциального уравнения.
Окончательный ответ:
$ln|x|+\frac{2x}{y-x}=C;y=x$
----------
Линейное однородное дифференциальное уравнение
$yy'=2y-x\\y=tx;y'=t'x+t\\tx(t'x+t)=2tx-x|:x\\t(t'x+t)=2t-1\\t'x+t=2-\frac{1}{t}\\\frac{xdt}{dx}=\frac{2t-1-t^2}{t}\\\frac{dx}{x}=-\frac{1}{t-1}-\frac{1}{(t-1)^2}\\\int\frac{dx}{x}=-\int\frac{d(t-1)}{t-1}-\int\frac{d(t-1)}{(t-1)^2}\\ln|x|=-ln|t-1|+\frac{1}{t-1}+C\\ln|y-x|-\frac{x}{y-x}=C$
В результате деления на t мы теряем возможное решение: y=0, проверяем:
$y=0\\y'=0\\0\neq0-x\\0\neq x$
Нет, y=0 не является решением дифференциального уравнения.