Question

Лимит lim x--> 1 x^2-корень из х / корень из х-1

Answer 1

$\lim_{x \to \inft1} \frac{ x^{2} - \sqrt{x} }{ \sqrt{x-1} }$
Неопределённость 0/0. Сначала числитель и знаменатель умножаем на величину сопряжённую числителю, т.е. на $( x^{2} + \sqrt{x})$. Затем в числителе х выносим за скобки, в которой получается разность кубов. Эту разность кубов раскладываем на множители, после чего множитель (х-1) представляем как квадрат квадратного корня их (х-1) и сокращаем один из этих квадратных корней. Неопределённость исчезает - в числителе ноль, в знаменателе - какое-то число.

$\lim_{x \to \inft1} \frac{ x^{2} - \sqrt{x} }{ \sqrt{x-1} } = \lim_{x \to \inft1} \frac{ (x^{2} - \sqrt{x})*( x^{2} + \sqrt{x}) }{ \sqrt{x-1} *( x^{2} + \sqrt{x})} =\lim_{x \to \inft1} \frac{x^4-x}{\sqrt{x-1} *( x^{2} + \sqrt{x})} = \\ \\ = \lim_{x \to \inft1} \frac{x(x^3-1)}{\sqrt{x-1} *( x^{2} + \sqrt{x})} = \lim_{x \to \inft1} \frac{x(x-1)*(x^2+x+1)}{\sqrt{x-1} *( x^{2} + \sqrt{x})} = \\ \\ = \lim_{x \to \inft1} \frac{x( \sqrt{x-1} )^2 *(x^2+x+1)}{\sqrt{x-1} *( x^{2} + \sqrt{x})} =$

$= \lim_{x \to \inft1} \frac{x \sqrt{x-1} *(x^2+x+1)}{ x^{2} + \sqrt{x}} = \frac{1 \sqrt{1-1} (1^2+1+1)}{1^2+1} = 0$