Question

Нужно провести полное исследование и построить график функции y=(x^2-3)/(x^2-9)

Answer 1

ДАНО

Y= (x²-3)/(x²-9)

ИССЛЕДОВАНИЕ

1.Область определения D(x): В знаменателе (x²-9)=(x-3)(x+3)≠0.

 Х∈(-∞;-√3))∪(√3;+∞). Две точки разрыва. 

Вертикальные асимптоты: х = -√3 и x = √3.

2. Пересечение с осью Х. Y=0. (х²- 3)=0. X1=-√3, X2= +√3.

3. Пересечение с осью У.  У(0) = 3/9 = 1/3.

4. Поведение в точках разрыва.

limY(-√3-) =+ ∞,  limY(-√3+) =-∞,limY(√3-) =-∞, limY(√3+) = +∞.

5. Исследование на чётность.Y(-x) = Y(x). Функция чётная. 

6. Производная функции -Y'(x).

$Y'(x)= \frac{2x}{x^2-9}- \frac{2x(x^2-3)}{(x^2-9)^2}=0$ 

Корень при х=0. 

7. Локальный экстремум. Максимум Ymax(0)= 1/3. 

8. Интервалы возрастания и убывания. 

Возрастает - Х∈(-∞;-√3)∪(-√3;0] , убывает = Х∈[0;√3)∪ (√3;+∞). 

8. Вторая производная - Y"(x) - без расчета.

Точек перегиба - нет. 

Выпуклая “горка» Х∈(-√3;√3), Вогнутая – «ложка» Х∈(-∞;-√3)∪ (√3;+∞)

10. Горизонтальная асимптота 

$Y=\lim_{x \to \infty} \frac{1- \frac{3}{x^2} }{1- \frac{9}{x^2} }=1$

12. График в приложении.