Дано: y = (x²-6x+4)/(3x-2),
ИССЛЕДОВАНИЕ.
1. Область определения: D(y)= X≠ 2/3 , X∈(-∞;2/3)∪(2/3;+∞). Не допускаем деления на 0 в знаменателе.
2. Разрыв II-го рода при Х = 1. Вертикальных асимптота - Х = 2/3.
3. Наклонная асимптота: k = lim(+∞)Y(x0/x = 1/3
b = -16/9 и
y(x) = x -16/9 - наклонная асимптота.
4. Нули функции, пересечение с осью ОУ.
y(0) = 4 : (-2) = -2
Пересечение с осью ОХ - решаем квадратное уравнение в числителе.
х1 = 5,236 и х2 = 0,7639, D = 20 и √20 = 2√5
5. Интервалы знакопостоянства.
Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;2/3)∪(0.76;5.2).
Положительна: Y>0 - X∈(5.2;+∞;)
6. Проверка на чётность. Есть сдвиг по оси ОХ - нет симметрии ни осевой ни центральной.
Функция общего фида - ни чётная, ни нечётная: Y(-x) ≠ -Y(x) ,
Y(-x)= (x^2+6*x+4)/(-3*x+2).
7. Поиск экстремумов по первой производной.
y'(x) =(-3*x² +18*x +2*(x-3)(3x-2)-12 /(3x-2)² = 0.
x*(3*x-4) =0
x1 = 0, x2 = 4/3 - точки экстремумов.
8. Локальный максимум: y(0) = -2, минимум: y(4/3) = -1.11.
9. Интервалы монотонности.
Возрастает - X∈(-∞;0)∪(4/3;+∞). Убывает: X∈(0;2/3)∪(3/2;4/3).
10. Поиск перегибов по второй производной.
y"(x) = 8/(3x-2)³ = 0
Точки перегиба нет, кроме разрыва при Х = 0.
11. Вогнутая - "ложка"- X∈(2/3;+∞;), выпуклая - "горка" - X∈(-∞;2/3);
12. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).
13. График функции на рисунке в приложении.
ДАНО:Y(x) = x³ -9*x + 9
ИССЛЕДОВАНИЕ.
1. Область определения D(y) ∈ R, Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая.
2. Вертикальная асимптота - нет - нет разрывов.
3. Наклонная асимптота - y = k*x+b.
k = lim(+∞) Y(x)/x = +∞ - нет наклонной (горизонтальной) асимптоты.
4. Периода - нет - не тригонометрическая функция.
5. Пересечение с осью OХ.
Разложим многочлен на множители. Y=(x--3,41)*(x-1,18)*(x-2,23)
(по теореме Виета - без решения)
Нули функции: Х₁ =-3,41, Х₂ =1,18, Х₃ =2,23
6. Интервалы знакопостоянства.
Отрицательная - Y(x)<0 X∈(-∞;-3,41]U[1,18;2,23]
Положительная -Y(x)>0 X∈[-3,41;1,18]U[2,23;+∞)
7. Пересечение с осью OY. Y(0) = 9
8. Исследование на чётность.
В полиноме есть и чётные и нечётные степени - функция общего вида.
Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x), Функция ни чётная, ни нечётная.
9. Первая производная. Y'(x) = 3*x² -9 = 3*(x²-3²) = 0
Корни Y'(x)=0. Х₄ = -√3 (-1,73) Х₅= √3 (1,73)
Производная отрицательна между корнями - функция убывает.
10. Локальные экстремумы.
Максимум - Ymax(-√3) =19,39. Минимум - Ymin(√3) =-1,39
11. Интервалы возрастания и убывания.
Возрастает Х∈(-∞;-√3]U[√3;+∞) , убывает - Х∈[-√3;√3]
12. Вторая производная - Y"(x) = 6*x = 0
Корень производной - точка перегиба Х₆=0
13. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆ = 0]
Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆ = 0; +∞).
14. График в приложении.
женщин - 4
дети - 7