Question

15. докажите тождество: sin4α + cos4α + 2sin2α ∙ cos2α = 1 16. докажите тождество: sin4α – cos4α + 2cos2α = 1.

Answer 1

При доказательстве любых  тождеств,  и  в частности   тригонометрических,  обычно  используют следующие
1)   выражение, стоящее и одной части равенства, с тождественных преобразований приводят к выражению, стоящему в   другой   части   равенства;2)   выражения, стоящие в левой и  правой частях тождества, с тождественных   преобразований   приводят  к одному и тому же виду;3)  доказывают,  что разность между левой и правой частями данного тождества равна нулю.Поясним это на некоторых частных примерах.Пример 1.   Доказать тождествоsin4α — cos4α  = sin2 α  — cos2 α .Используя формулу для разности квадратов двух чисел, получаем:sin4α — cos4α = (sin2α + cos2α) (sin2α — cos2α).Ho sin2α  + cos2α  = 1.   Поэтомуsin4α — cos4α = sin2α — cos2α, что и требовалось доказать. Пример 2.   Доказать тождествоЭто   тождество   мы   будем  доказывать   путем   преобразования выражения, стоящего в правой части Поэтому Прежде всего заметим, что ctg α =/= 0; в противном случае не имело бы смысла выражение tg α = 1/ctg α.   Но если ctg α =/= 0, то числитель и знаменатель подкоренного выражения можно умножить на ctg α, не изменяя значения дроби. Следовательно,Используя   тождества    tg α • ctg α = 1  и   1+ ctg2α  = cosec2 α , получаемПоэтому что и требовалось доказать.Замечание. Следует обратить внимание на то, что левая часть доказанного тождества (sin α) определена при всех значениях α,  а  правая — лишь  при α =/= π/2 n.Поэтому только при всех допустимых  значениях α         Вообще   же   эти выражения не   эквивалентны  друг другу.Пример   3.   Доказать тождествоsin (3/2 π + α ) + cos ( π - α ) = cos ( 2π + α ) - 3sin (π/2 - α )Преобразуем  левую  и правую части этого тождества, используя формулы приведения:sin (3/2 π + α ) + cos ( π - α )  = — cos α — cos α  = — 2 cos α;cos ( 2π + α ) - 3sin (π/2 - α ) = cos α — 3 cos α = — 2 cos α.Итак, выражения, стоящие в обеих частях данного тождества, приведены к одному и тому же виду. Тем самым тождество доказано.Пример    4.    Доказать  тождествоsin4 α + cos4 α — 1 = — 2   sin2α cos2α.Покажем, что разность между левой и правой частями. данного тождества  равна  нулю.   Имеем:(sin4 α + cos4 α — 1) — (— 2   sin2α cos2α)  = (sin4 α + 2sin2α cos2α + cos4 α) — 1 == (sin2α  + cos2α)2 — 1 = 1 — 1 = 0.Тем самым тождество доказано.Пример    5.   Доказать тождество,Это тождество   можно   рассматривать   как   пропорцию.   Но чтобы доказать справедливость    пропорции  a/b = c/d, достаточно показать, что произведение ее крайних членов ad равно произведению ее средних членов bc. Так мы поступим и в данном случае. Покажем, что (1 — sin α) (1+ sin α) = cos α • cos α.Действительно,   (1 — sin α)   (1 + sin α) = 1 —sin2α = cos2α.По поводу этого примера можно было бы сделать замечание, аналогичное замечанию к примеру 2 Както так: