Добрый день! Разберем поочередно каждое комплексное число и представим их в тригонометрической форме.
а) Для решения комплексного числа -4 в тригонометрической форме, нам необходимо найти его модуль (расстояние от нуля до числа в комплексной плоскости) и аргумент (угол между положительным направлением действительной оси и вектором числа).
Для числа -4, можно заметить, что оно расположено на отрицательной действительной оси и находится на расстоянии 4 от нуля. Следовательно, модуль числа -4 равен 4.
Аргумент числа -4 можно найти, используя формулу:
аргумент = arctan(мнимая часть / действительная часть).
В данном случае мнимая часть числа -4 равна 0 (так как число -4 лежит на действительной оси) и действительная часть равна -4. Подставим значения в формулу:
аргумент = arctan(0 / -4) = arctan(0) = 0.
Таким образом, в тригонометрической форме число -4 будет представлено как 4(cos(0) + i*sin(0)).
б) Теперь рассмотрим комплексное число i. Здесь нам снова понадобится найти модуль и аргумент числа i.
Модуль числа i равен 1, так как оно находится на расстоянии 1 от нуля.
Аргумент числа i можно найти, используя формулу:
аргумент = arctan(мнимая часть / действительная часть).
В данном случае мнимая часть числа i равна 1, а действительная часть равна 0. Подставим значения в формулу:
аргумент = arctan(1 / 0).
Однако, здесь возникает проблема, так как при делении на ноль аргумент не определен. В данном случае аргумент числа i является пограничным, и его можно записать как:
аргумент = pi/2.
Таким образом, в тригонометрической форме число i будет представлено как 1(cos(pi/2) + i*sin(pi/2)).
в) Теперь рассмотрим комплексное число 1-i.
Модуль числа 1-i можно найти по формуле:
модуль = sqrt(действительная часть^2 + мнимая часть^2).
В данном случае действительная часть равна 1, а мнимая часть равна -1. Подставим значения в формулу:
Аргумент числа -sqrt(3)+i можно найти, используя формулу:
аргумент = arctan(мнимая часть / действительная часть).
В данном случае мнимая часть равна 1, а действительная часть равна -sqrt(3). Подставим значения в формулу:
аргумент = arctan(1 / -sqrt(3)).
Для нахождения точного значения аргумента, воспользуемся следующим соотношением:
arctan(-x) = -arctan(x).
Таким образом, аргумент можно записать как:
аргумент = -arctan(1 / sqrt(3)).
Используя таблицу значений тригонометрических функций или калькулятор, находим значение:
arctan(1 / sqrt(3)) ≈ 0.6155.
Теперь применяем соотношение для аргумента:
аргумент = -0.6155.
Таким образом, в тригонометрической форме число -sqrt(3)+i будет представлено как 2(cos(-0.6155) + i*sin(-0.6155)).
Выполняя данные шаги, можем представить комплексные числа в требуемой форме и обосновать каждое действие. Если у вас есть дополнительные вопросы, с радостью на них отвечу.
а) Для решения комплексного числа -4 в тригонометрической форме, нам необходимо найти его модуль (расстояние от нуля до числа в комплексной плоскости) и аргумент (угол между положительным направлением действительной оси и вектором числа).
Для числа -4, можно заметить, что оно расположено на отрицательной действительной оси и находится на расстоянии 4 от нуля. Следовательно, модуль числа -4 равен 4.
Аргумент числа -4 можно найти, используя формулу:
аргумент = arctan(мнимая часть / действительная часть).
В данном случае мнимая часть числа -4 равна 0 (так как число -4 лежит на действительной оси) и действительная часть равна -4. Подставим значения в формулу:
аргумент = arctan(0 / -4) = arctan(0) = 0.
Таким образом, в тригонометрической форме число -4 будет представлено как 4(cos(0) + i*sin(0)).
б) Теперь рассмотрим комплексное число i. Здесь нам снова понадобится найти модуль и аргумент числа i.
Модуль числа i равен 1, так как оно находится на расстоянии 1 от нуля.
Аргумент числа i можно найти, используя формулу:
аргумент = arctan(мнимая часть / действительная часть).
В данном случае мнимая часть числа i равна 1, а действительная часть равна 0. Подставим значения в формулу:
аргумент = arctan(1 / 0).
Однако, здесь возникает проблема, так как при делении на ноль аргумент не определен. В данном случае аргумент числа i является пограничным, и его можно записать как:
аргумент = pi/2.
Таким образом, в тригонометрической форме число i будет представлено как 1(cos(pi/2) + i*sin(pi/2)).
в) Теперь рассмотрим комплексное число 1-i.
Модуль числа 1-i можно найти по формуле:
модуль = sqrt(действительная часть^2 + мнимая часть^2).
В данном случае действительная часть равна 1, а мнимая часть равна -1. Подставим значения в формулу:
модуль = sqrt(1^2 + (-1)^2) = sqrt(1 + 1) = sqrt(2).
Аргумент числа 1-i можно найти, используя формулу:
аргумент = arctan(мнимая часть / действительная часть).
В данном случае мнимая часть равна -1, а действительная часть равна 1. Подставим значения в формулу:
аргумент = arctan(-1 / 1) = arctan(-1) = -pi/4.
Таким образом, в тригонометрической форме число 1-i будет представлено как sqrt(2)(cos(-pi/4) + i*sin(-pi/4)).
г) Наконец, рассмотрим комплексное число -sqrt(3)+i.
Модуль числа -sqrt(3)+i можно найти по формуле:
модуль = sqrt(действительная часть^2 + мнимая часть^2).
В данном случае действительная часть равна -sqrt(3), а мнимая часть равна 1. Подставим значения в формулу:
модуль = sqrt((-sqrt(3))^2 + 1^2) = sqrt(3 + 1) = 2.
Аргумент числа -sqrt(3)+i можно найти, используя формулу:
аргумент = arctan(мнимая часть / действительная часть).
В данном случае мнимая часть равна 1, а действительная часть равна -sqrt(3). Подставим значения в формулу:
аргумент = arctan(1 / -sqrt(3)).
Для нахождения точного значения аргумента, воспользуемся следующим соотношением:
arctan(-x) = -arctan(x).
Таким образом, аргумент можно записать как:
аргумент = -arctan(1 / sqrt(3)).
Используя таблицу значений тригонометрических функций или калькулятор, находим значение:
arctan(1 / sqrt(3)) ≈ 0.6155.
Теперь применяем соотношение для аргумента:
аргумент = -0.6155.
Таким образом, в тригонометрической форме число -sqrt(3)+i будет представлено как 2(cos(-0.6155) + i*sin(-0.6155)).
Выполняя данные шаги, можем представить комплексные числа в требуемой форме и обосновать каждое действие. Если у вас есть дополнительные вопросы, с радостью на них отвечу.