Question

Вычислите площадь фигуры,ограниченной линиями y=x^2-4x+2 и y=-x^2+6x-6

Answer 1

Заданная площадь ограничена с одной стороны (сверху)
$y=-x^2+6x-6$
с другой стороны (снизу)
$y=x^2-4x+2$

Суть решения сводится к поиску площади ограниченной $y=-x^2+6x-6$  и минус площади ограниченной $y=x^2-4x+2$

Пределы интегрирования можно найти решив уравнение
$x^2-4x+2=-x^2+6x-6$
Это можно решить самостоятельно.

Я, пределы интегрирования, возьму с графика от 1 до 4

$S = S_1 - S_2 = \int\limits^4_1 {(-x^2+6x-6)} \, dx - \int\limits^4_1 {(x^2-4x+2)} \, dx =$

$= \int\limits^4_1 {(-2x^2+10x-8)} \, dx = \\ \\ =-{{2\,x^3}\over{3}}|_1^4+5\,x^2|_1^4-8\,x|_1^4 = - \frac{128}{3}+ \frac{2}{3}+80-5-32+8 = 9$

ответ: 9 кв.ед.

Answer 2

Для начала, нам необходимо найти точки пересечения данных графиков, так как они ограничивают фигуру. Для этого приравняем уравнения y=x^2-4x+2 и y=-x^2+6x-6:

x^2-4x+2 = -x^2+6x-6

Соберем все элементы в одной части уравнения:

2x^2 -10x + 8 = 0

Теперь решим данное квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта, чтобы найти корни. Формула дискриминанта выглядит следующим образом:

D = b^2 - 4ac

где a, b и c - коэффициенты из нашего уравнения. В нашем случае a = 2, b = -10 и c = 8. Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

D = (-10)^2 - 4(2)(8)
= 100 - 64
= 36

Так как дискриминант положительный, это означает, что у уравнения есть два действительных и различных корня. Найдем их с помощью формулы для квадратного уравнения:

x = (-b ± √D) / 2a

Таким образом,

x1 = (-(-10) + √36) / (2 * 2)
= (10 + 6) / 4
= 16 / 4
= 4

x2 = (-(-10) - √36) / (2 * 2)
= (10 - 6) / 4
= 4 / 4
= 1

Теперь, когда у нас есть значения x, найдем соответствующие значения у. Подставим значения x в исходные уравнения:

Для y=x^2-4x+2:

y1 = (4)^2 - 4(4) + 2
= 16 - 16 + 2
= 2

y2 = (1)^2 - 4(1) + 2
= 1 - 4 + 2
= -1

Для y=-x^2+6x-6:

y1 = -(4)^2 + 6(4) - 6
= -16 + 24 - 6
= 2

y2 = -(1)^2 + 6(1) - 6
= -1 + 6 - 6
= -1

Таким образом, точки пересечения графиков данных уравнений являются: (4, 2) и (1, -1).

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, мы можем использовать метод интегрирования. Мы должны интегрировать два уравнения в заданном диапазоне, от x = 1 до x = 4:

S = ∫(x1, x2) [f(x) - g(x)] dx

где f(x) и g(x) - функции, описывающие графики уравнений y=x^2-4x+2 и y=-x^2+6x-6 соответственно.

Теперь выполним интегрирование:

S = ∫(1, 4) [(x^2 - 4x + 2) - (-x^2 + 6x - 6)] dx
= ∫(1, 4) (x^2 - 4x + 2 + x^2 - 6x + 6) dx
= ∫(1, 4) (2x^2 - 10x + 8) dx

Решим это интеграл:

S = [(2/3)x^3 - 5x^2 + 8x] (от 1 до 4)
= [(2/3)(4)^3 - 5(4)^2 + 8(4)] - [(2/3)(1)^3 - 5(1)^2 + 8(1)]
= [(2/3)(64) - 5(16) + 32] - [(2/3)(1) - 5(1) + 8]
= [128/3 - 80 + 32] - [2/3 - 5 + 8]
= [128/3 - 80 + 32] - [2/3 - 5 + 8]
= [128/3 - 128/3] - [-7/3]
= 0 - (-7/3)
= 7/3
= 2.33 (округляем до двух знаков после запятой)

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-4x+2 и y=-x^2+6x-6, составляет приблизительно 2.33 единицы площади.