Question

Заданы уравнения сторон треугольника 7х+6у+16=0; 2х+9у-10=0; 5х-3у-25=0. найти координаты точки пересечения высот

Answer 1

Обозначим стороны треугольника следующим образом
$AB: 7x+6y+16=0 \\ BC: 2x+9y-10=0 \\ AC: 5x-3y-25=0$
Найдем вершины треугольника ABC, решив три системы уравнений
$A: \left \{ {{7x+6y+16=0} \atop {5x-3y-25=0}} \right \\ \\ B: \left \{ {{7x+6y+16=0} \atop {2x+9y-10=0}} \right \\ \\ C: \left \{ {{2x+9y-10=0} \atop {5x-3y-25=0}} \right$
Получим $A(2;-5), B(-4;2), C(5;0)$
Представим сторону $BC$ как уравнение с угловым коэффициентом:
$BC: 2x+9y-10=0 \Rightarrow y = - \frac{2}{9} x + \frac{10}{9}$
Тогда её угловой коэффициент $k_1 = - \frac{2}{9}$
Из условия перпендикулярности двух прямых $\left (k_1 \cdot k_2 = -1 \right)$ найдем $k_2$ – угловой коэффициент прямой, содержащей высоту $AP$:
$k_2 = - \frac{1}{k_1} = \frac{9}{2}$
Уравнение прямой $AP$ найдем по точке $A(2;-5)$ и угловому коэффициенту $k_2$:
$y+5 = \frac{9}{2} x-2 \Rightarrow y = \frac{9}{2} x-14$
Представим сторону $AC$ как уравнение с угловым коэффициентом:
$AC: 5x-3y-25=0 \Rightarrow y = \frac{5}{3} x- \frac{25}{3} \Rightarrow k_3 = \frac{5}{3}$
Если $k_4$ – угловой коэффициент прямой, содержащей высоту $BQ$, то
$k_4 = - \frac{1}{k_3} = - \frac{3}{5}$
Уравнение прямой $BQ$ найдем по точке $B(-4;2)$ и угловому коэффициенту $k_4$:
$y-2 = -\frac{3}{5} (x+4) \Rightarrow y = -\frac{3}{5} x - \frac{2}{5}$
Координаты точки пересечения высот $H(x;y)$ найдем, решив систему уравнений, задающих прямые $AP$ и $BQ$:
$\left \{ {{y = \frac{9}{2} x-14} \atop {y = -\frac{3}{5} x - \frac{2}{5}}} \right$
Получим $H \left( \frac{136}{51} ; -2 \right)$