Question

Исследовать функцию и построить ее график (с пояснением): y=x/(x^2+5)

Answer 1

ДАНО

Y = x/(x+5)

ИССЛЕДОВАНИЕ

1.Область определения D(x) - непрерывная  Х∈(-∞;+∞).

Вертикальных асимптот - нет.

2. Пересечение с осью Х. Y=0 при х = 0. 

3. Пересечение с осью У.  У(0) = 0. 

4. Поведение на бесконечности.

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x+ \frac{5}{x} }=0$ 

limY(+∞) = 0. 

Горизонтальная асимптота - Y = 0..

5. Исследование на чётность.Y(-x) = - Y(x).

Функция нечётная. 

6. Производная функции.

 $Y'(x)= \frac{1}{ x^{2} +5}- \frac{2 x^{2}}{( x^{2} +5)^2}$

Корни при Х=-√5 и  √5 (+/- 2,3)

7. Локальные экстремумы. 

Максимум: Ymax(-√5)= √5/10 ≈ 0,23 и минимум  Ymin(2,3) ≈ - 0,23

8. Интервалы монотонности. 

Возрастает- Х∈(-√5;√5), убывает - X∈(-∞,-√5)∪(√5;+∞).

9. Вторая производная - Y"(x),  

Корни производной - точки перегиба:  х1 = 0, х2= -√15, х3= √15  (≈+/-3,8). 

9. Выпуклая “горка» Х∈(-∞;-√15)∪(0;√15), Вогнутая – «ложка» Х∈(-√15;0)∪(√15;+∞). 

10. Область значений Е(у) У∈(-√5/10;√5/10) 

11. Наклонная асимптота. Уравнение: lim(∞)(k*x+b – f(x).  

k=lim(∞)Y(x)/x = 1/(5+x²) = 0. Совпадает с горизонтальной. 

12.График в приложении.