Question

Найти площадь фигуры ограниченную линиями у=8sqrt х, у=х^2

Answer 1

Находим x координаты точек пересечения:
$\left \{ {{y=8\sqrt{x}} \atop {y=x^2}} \right. \\8\sqrt{x}=x^2 \\64x=x^4,\ x \in [0;+\infty) \\x^4-64x=0 \\x(x^3-64)=0 \\x_1=0 \\x^3=64 \\x_2=4$
теперь вычисляем площадь с определенного интеграла:
$\int\limits^4_0 {(8\sqrt{x}-x^2)} \, dx =( \frac{16x^{ \frac{3}{2} }}{ 3 } - \frac{x^3}{3}) \int\limits^4_0= \frac{16*\sqrt{4^3}}{3} - \frac{4^3}{3} -0= \frac{16*8}{3} - \frac{4^3}{3} =\\= \frac{128-64}{3} = \frac{64}{3} =21 \frac{1}{3}$
ответ: $21 \frac{1}{3}$ ед²