Question

Даны координаты вершин пирамиды o,m1m2,m3.при этом o(0,0,0), , a=om1, b=m1m2,c=m2m3 m1= -1, -3,0 m2=2,-1,0 m3=0,0,4 а) вычислите скалярное произведение a*b б) вычислите векторное произведение a*b в) найдите косинус угла между векторами a+b и c г) найдите площадь треугольника m1m2m3 д) найдите объем тетраэдра om1m2m3

Answer 1

Даны координаты вершин пирамиды 
O(0; 0; 0), M1(-1; -3; 0), M2(2; -1; 0), M3(0; 0; 4) и отрезки
a=OM1, b=M1M2, c=M2M3.

а) Вычислите скалярное произведение a*b.
Определяем координаты векторов: 
а = (-1; -3; 0), b = ((2+1=3; -1+3=2; 0-0=0). c = (0-2=-2; 0+1=1; 4-0=4).
а = (-1; -3; 0), b = (3; 2; 0). c = (-2; 1; 4).
a*b =( -1*3+(-3)*2+0*0) = -3-6+0 = -9.

б) Вычислите векторное произведение a*b.
Векторное произведение векторов a × b = {ay*bz - az*by; az*bx - ax*bz; ax*by - ay*bx} =
(-3*0-0*2=0; 0*3-(-1)*0=0; -1*2-(-3)*3=7) = (0; 0; 7).

в) Найдите косинус угла между векторами
a+b и c. Векторы равны: а = (-1; -3; 0), b = (3; 2; 0). c = (-2; 1; 4).

Находим а + b = (-1+3=2; -3+2=-1; 0+0 = 0) = (2; -1; 0)

Тогда cos α = |2*(-2)+(-1)*1+0*4|/(√(4+1+0)*√(4+1+16)) =

                    =|-4-1+0|/(√5*√21) = 5/√105 = √105/21 ≈ 0,48795.

           arc cos α = 1,06106 радиан = 60,7941°.

г) Найдите площадь треугольника M1M2M3.

Площадь треугольника равна половине векторного произведения векторов M1M2 на M1M3.

Вектор a = M1M2          Вектор b = M1M3
             х      у     z              х      у       z
             3      2    0              1      3       4.
Векторное произведение векторов a × b =                                                      = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}  =
  = (2*4-0*2; 0*1-3*4; 3*3-2*1) = (8; -12; 7).
S = (1/2)*√(64+144+49) = (1/2)*√257 ≈  8,01561.

д) Найдите объем тетраэдра OM1M2M3.

Находим координаты векторов

ОМ1= {Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az} = {-1 - 0; -3 - 0; 0 - 0} = {-1; -3; 0}
ОМ2 = {Cx - Ax; Cy - Ay; Cz - Az} = {2 - 0; -1 - 0; 0 - 0} = {2; -1; 0}
ОМ3 = {Dx - Ax; Dy - Ay; Dz - Az} = {0 - 0; 0 - 0; 4 - 0} = {0; 0; 4}

Найдем смешанное произведение векторов:

ОМ1*ОМ2*ОМ3 = 

= (-1)·(-1)·4 + (-3)·0·0 + 0·2·0 - 0·(-1)·0 - (-3)·2·4 - (-1)·0·0 = 4 - 0 + 0 + 0 + 24 + 0 = 28.

Объём пирамиды равен (1/6) от этой величины:

V = (1/6)*28 = 14/3 ≈ 4,66666667.