Л е м м а: Пусть 
-- сумма цифр числа 
. Тогда 
, если длина 
не превосходит . Иными словами сумма цифр числа, состоящего из девяток, не меняется при умножении на достаточно короткое число.
Д о к а з а т е л ь с т в о достаточно механическое: просто записываем число 
как 
, а разность 
считаем в столбик, учитывая перенос единицы.
Теперь пусть дано число 
. Возьмем число 
, тогда его частное с первым числом равно 
. Умножим в таком случае на . Длина числа меньше для всех , кроме 
(что представляет собой тривиальный случай), потому по лемме ![\left[\underbrace{99\ldots9}_{n}\cdot n\right]\div \underbrace{11\ldots1}_{n} = 9n = S(\underbrace{99\ldots9}_{n}) = S(\underbrace{99\ldots9}_{n}\cdot n)](/tpl/images/4768/2810/100d4.png)
.
