Question

Решить дифференциальное уравнение y'sinx=ylny

Answer 1

$y'\cdot sinx=y\cdot lny\\\\ \frac{dy}{dx}= \frac{y\cdot lny}{sinx} \\\\\int \frac{dy}{y\cdot lny}=\int \frac{dx}{sinx}\\\\ln|lny|=ln|tg \frac{x}{2}|+lnC\; ,\quad |lny|=C\cdot |tg\frac{x}{2}|\; ,\; \; lny=\pm C\cdot |tg\frac{x}{2}|\\\\\\\star \; \; \int \frac{dy}{y\cdot lny}=\int \frac{dy/y}{lny} [t=lny\; ,\; dt=\frac{dy}{y}]=\int \frac{dt}{t} =ln|t|+C=ln|lny|+C\\\\\star \star \int \frac{dx}{sinx}=[\, t=tg \frac{x}{2}\; ,\; sinx= \frac{2t}{1+t^2}\; ,\; x=2\, arctgt\; ,\; dx= \frac{2\, dt}{1+t^2}\, ]=$

$=\int \frac{\frac{2\, dt}{1+t^2}}{ \frac{2t}{1+t^2} } =\int \frac{dt}{t}=ln|t|+C=ln|tg\frac{x}{2}|+C$