Question

Найдите все натуральные числа n и m которые являются решениями уравнения 5^n-5^m=600

Answer 1

$5^{n} - 5^{m} =600$

n∈N;  m∈N 
n>m
600 = 25·24
600 = 5²·24

$5^{m} ( 5^{n-m} -1)=600$

$5^{m} ( 5^{n-m} -1)= 5^{2} *24$

Получаем систему:

$\left \{ {{ 5^{m} = 5^{2} } \atop { 5^{n-m} =24}} \right.$ 

$\left \{ {{m=2} \atop { 5^{n-m} =24+1}} \right.$

Упростим второе уравнение:

$5^{n-m} =25$

$5^{n-m} = 5^{2}$

Вернёмся к системе:

$\left \{ {{m=2} \atop {n-m=2}} \right.$

Подставим m=2 во второе уравнение n-m=2 и получим:

$n-2=2$

$n=4$

Проверим n = 4; m = 2

5⁴ - 5² = 600
625 - 25 = 600
        600=600  верное равенство.
ответ: n = 4; m = 2