Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=(x-1)^2, прямыми x=-1, x=2 и осью Ox, нам нужно разделить эту фигуру на две части: одна часть будет лежать ниже параболы, а другая - над параболой.
Для начала, найдем точки пересечения параболы с вертикальными прямыми x=-1 и x=2.
Подстановка x=-1 в уравнение параболы дает:
y=(-1-1)^2 = (-2)^2 = 4
Таким образом, точка пересечения с прямой x=-1 - (-1, 4).
Подстановка x=2 в уравнение параболы дает:
y=(2-1)^2 = (1)^2 = 1
Таким образом, точка пересечения с прямой x=2 - (2, 1).
Теперь у нас есть две точки пересечения линий с параболой - (-1, 4) и (2, 1).
Давайте нарисуем эту фигуру на координатной плоскости, чтобы лучше визуализировать ее:
```
|
4 | + (2, 1)
|
3 |
|
2 | + (0, 0)-----(0, 0)
| /
1 |----/-----------------(1, 0)
|
0 +-1---------2---------3---
```
Как видно из графика, фигура ограничена параболой налево и прямыми справа и слева.
Теперь нужно найти площади каждой части этой фигуры и сложить их, чтобы получить общую площадь.
Давайте начнем с верхней части фигуры, ограниченной параболой и прямой x=-1.
Площадь этой части можно найти путем интегрирования функции параболы от точки пересечения с x=-1 до точки пересечения с параболой (2, 1).
Интеграл площади выражается следующим образом:
∫{(x-1)^2}dx от x=-1 до x=2
Для простоты, мы можем использовать метод аналитического интегрирования, чтобы найти точное значение этого интеграла.
∫{(x-1)^2}dx = (x^3/3 - x^2 + 2x) | от x=-1 до x=2
Давайте вычислим этот интеграл:
Подставим x=2:
(2^3/3 - 2^2 + 2*2) = (8/3 - 4 + 4) = 8/3
Подставим x=-1:
((-1)^3/3 - (-1)^2 + 2*(-1)) = (-1/3 - 1 + (-2)) = -1/3 - 1 - 2 = -10/3
Теперь вычтем значение интеграла в точке x=-1 из значения интеграла в точке x=2:
8/3 - (-10/3) = 8/3 + 10/3 = 18/3 = 6
Таким образом, площадь верхней части фигуры равна 6.
Теперь давайте найдем площадь нижней части фигуры, ограниченной параболой и прямыми x=-1 и x=2.
Площадь этой части также можно найти путем интегрирования функции параболы от точки пересечения с x=-1 до точки пересечения с параболой (2, 1), но учитывая, что она находится под осью Ox, мы должны интегрировать с отрицательным знаком.
∫{-((x-1)^2)}dx от x=-1 до x=2
Аналогично, мы можем использовать метод аналитического интегрирования для решения этого интеграла.
∫{-((x-1)^2)}dx = -((x^3/3 - x^2 + 2x)) | от x=-1 до x=2
Подставим x=2:
-(2^3/3 - 2^2 + 2*2) = -(8/3 - 4 + 4) = -(8/3 - 8/3) = -0
Подставим x=-1:
-((-1)^3/3 - (-1)^2 + 2*(-1)) = -(-1/3 - 1 + (-2)) = -(-1/3 - 1 - 2) = -(-10/3) = 10/3
Теперь вычтем значение интеграла в точке x=-1 из значения интеграла в точке x=2:
0 - 10/3 = 0 - 10/3 = -10/3
Таким образом, площадь нижней части фигуры равна -10/3.
Теперь, чтобы найти общую площадь фигуры, мы должны сложить площади верхней и нижней частей:
6 + (-10/3) = 6 - 10/3
Для удобства, можно представить 6 в виде дроби с общим знаменателем:
6 = 18/3
Теперь сложим две дроби с общим знаменателем:
18/3 - 10/3 = 8/3
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболой y=(x-1)^2, прямыми x=-1 и x=2 и осью Ox, равна 8/3.
Для начала, нам необходимо определить произведение скалярное векторов a и b, чтобы затем использовать его в формуле для нахождения косинуса угла между векторами.
Произведение скалярное векторов a и b вычисляется следующим образом:
a · b = (3 * -1) + (2 * 2) + (-1 * 3)
= -3 + 4 - 3
= -2
Теперь, используя найденное значение произведения скалярного векторов a и b, мы можем найти косинус угла между векторами:
cos j = (a · b) / (|a| * |b|)
где |a| и |b| являются длинами векторов a и b соответственно.
Для нахождения длины вектора, нам нужно использовать формулу:
|v| = √(v₁² + v₂² + v₃²)
где v₁, v₂ и v₃ - компоненты вектора.
Таким образом, длина вектора a будет:
|a| = √(3² + 2² + (-1)²)
= √(9 + 4 + 1)
= √14
А длина вектора b:
|b| = √((-1)² + 2² + 3²)
= √(1 + 4 + 9)
= √14
Теперь, используя найденные значения, мы можем подставить их в формулу для нахождения косинуса:
cos j = (-2) / (√14 * √14)
= -2 / 14
= -1/7
Таким образом, косинус угла между векторами a и b равен -1/7.
