Question

Из интервала (0, 1) наугад выбирается два числа x и y. какова вероятность, что [log2 x] = [log2 y]? если необходимо, округлите ответ с точностью до 0,01. через [a] обозначено наибольшее целое число, не превосходящее a.

Answer 1

Попробуем понять, что от нас хотят? Поэтому разберёмся для начала, что такое [a]? Как сказано, это наибольшее целое число, не больше а, т.е. меньше или равно. [a] ≤ a.
А чтоб совсем понятно стало, рассмотрим примеры.
Например, а = 6,37, значит, [a] = 6; а = 0,88 и [a] = 0; a = 1,0 и [a] = 1.
Т.о. просто отбрасывается дробная часть.
Это для положительных чисел, а для отрицательных? Здесь отбрасывание дробной части не даёт результата.
Например, a = -6,37 и, если [a] =-6, то  -6 ≥ -6,37, т.е. [a] > a, что расходится с условием. Поэтому, [a] = -7 (!)
a = -2,03 и  [a] = -3; a = -0,88 и [a] = -1; a = -1,0 и [a] = -1.
Т.о., если есть дробная часть, то она отбрасывается и производится вычитание единицы.

Теперь разбираемся с условием, вероятность которого необходимо вычислить: $[log_2 x] = [log_2 y]$. Равенство будет выполняться. если два случайных числа будут попадать в одинаковые интервалы, дающие при получении наибольшего целого, не превосходящее само число.

Какой интервал надо разбивать? Разбивать надо интервал (0, 1), но так, чтобы $log_2x$ в граничных точках давал  целые значения. Причём в интервале (0, 1) логарифм по основанию 2 меньше нуля.
Например:
$log_2x = 0; x =1 \\ log_2x = -1; x = \frac{1}{2} \\ log_2x = -2; x = \frac{1}{4} \\ log_2x = -3; x = \frac{1}{8}$

Отсюда, становятся понятны интервалы (справа налево):
от 1 до 1/2 - здесь $[log_2x]=-1$
от 1/2 до 1/4 - здесь $[log_2x]=-2$
от 1/4 до 1/8 - здесь $[log_2x]=-2$
И т.д., интервал всё время сокращается в два раза.

Наконец, переходим непосредственно к вероятности. Вероятность выбора числа х из интервала от 1 до 1/2 равна отношению длины этого интервала к общей длине. Длина интервала = 1/2, общая длина = 1. Вероятность равна 1/2. Точно такая же вероятность случайного выбора числа у из этого же интервала - 1/2. Т.к. события не зависят друг от друга, то вероятность одновременного попадания обоих чисел в этот интервал равна 1/4 = 1/2 * 1/2.
Аналогично вычисляются вероятности попадания в остальные интервалы. Так вероятность попадания чисел х и у в интервал от 1/2 до 1/4 равна: 1/16 = 1/4 * 1/4. Ширина интервала равна 1/4, значит, и вероятности каждого события равны 1/4.
Вероятность попадания в третий интервал от 1/4 до 1/8 равна:
1/64 = 1/8 * 1/8. И т.д.
Стал ясен алгоритм вычисления нашей вероятности. Надо для бесконечного числа интервалов вычислить вероятность совместного попадания двух чисел, а затем всё просуммировать.

А вот здесь нам в бесконечных вычислениях геометрическая прогрессия. Замечаем, что первый член равен 1/4, а знаменатель прогрессии 1/4. Поэтому, мы без проблем найдём сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

$b_1 = \frac{1}{4}; q = \frac{1}{4} \\ \\ P = S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{ \frac{1}{4} }{1- \frac{1}{4} } = \frac{ \frac{1}{4} }{\frac{3}{4} } = \frac{1}{3}$

Итак, вероятность оказалась равно 1/3, или $\approx 0,33$.