Question

Решить неравенства (х - 4)*(х - 2) < 0 (log4 x) или log x по основанию 4 > 1 2^-х+1 < 1/2 ((х - 4)^2)/(х - 2) < 0 подробное решение,

Answer 1

1. Умножаем почленно:
x²- 2x- 4x+ 8< 0;
x²- 6x+ 8< 0;
[Квадратное уравнение типа: ax²+ bx+ c= 0]
D= b²- 4ac= 36- 4* 8= 4= 2².
x₁= $\frac{-b- \sqrt{D} }{2a}= 2;$
x₂= $\frac{-b+ \sqrt{D} }{2a}= 4;$

Либо по теореме Виета (если уравнение приведенное (a= 1)):
x₁* x₂= c;
x₁+ x₂= -b;
В данном случае:
x₁* x₂= 8;
x₁+ x₂= 6.

ответ неравенства:
x< 2;
x< 4.

x< 2 - включает оба ответа.
[Можно нарисовать ось x, отмечаем на ней 2 и рисуем косые риски, куда показивает знак неравенства. Зарисованая область и будет множеством]
x ∈ (-∞; 2).

[Ещё квадратное уравнение типа ax²+ bx+ c= 0 можно переписать (x- x₁)(x- x₂)= 0. То есть нам уже известные корни, тогда:
x< 4; x< 2]

2. Область допустимых значений (или область определения):
[Выражение под знаком логарифма большее 0]
x> 0.

Сделаем с 1 логарифм с основанием как в первого логарифма (4):
4¹= 4. Поэтому:
1= log₄4.

Получаем неравенство:
log₄x> log₄4;

Основания равные, поэтому можно приравнять выражения.
Основание больше 1, знак неравенства остается прежний.
Если б основание было меньше 1, знак поменялся б.
[a= 4> 1 - фунция растущая (знак остается прежний)]

x> 4
x ∈ (4; +∞).

3. [$(\frac{1}{2}) ^{-1}= 2.$. То есть, если степень с минусом в результате переворачивает дробь и подносится без минуса]
Сделаем с $\frac{1}{2}$ 2.
$( \frac{1}{2}) ^{-1}= 2$

Получаем неравенство:
$2^{-x+ 1}\ \textless \ 2^{-1}$

Основания равны (2), можем приравнять степени.
a= 2> 1 - функция растущая (знак остается прежний).

-x+ 1< -1;
-x< -2;
[Чтобы убрать минус перед x меняем знак неравенства]
x> 2;
x ∈ (2; +∞).

4. $\frac{ (x- 4)^{2} }{x- 2}\ \textless \ 0;$

ОДЗ:
[знаменатель не может быть равным 0, потому что на 0 делить нельзя]
x не может равнятся 2, потому что тогда будет 2- 2= 0, запрещенный вариант.

Разкроем скобки в числителе согласно формул сокращенного умножения:
x²- 8x+ 16< 0;
D= 64- 4* 16= 0;
[Если дискриминант равен 0, то уравнение имеет два совпадающих корня, то есть по факту один]
x= 4.

То есть x< 4

Теперь к знаменателю:
В принципе знаменатель может приобретать любые значения, кроме 2.
Но также x не может равнятся 3, потому что в этом случае в знаменателе и в числителе будет 1, в результате дроба 1, что не меньше 0.

Общий результат:
x ∈ (-∞; 2) ∪ (2; 3).