Question

Доказать, что 8cos⁴α-4cos³α-8cos²α+3cosα+1=-2sin(7α/2)*sin(α/2)

Answer 1

$8\cos^4 \alpha -4\cos^3\alpha -8\cos^2\alpha +3\cos\alpha +1=\\ \\ =-8\cos^2\alpha \bigg(1-\cos^2\alpha \bigg)-\bigg(4\cos^3\alpha -3\cos\alpha \bigg)+1=\\ \\ =-8\cos^2\alpha \sin^2\alpha -\bigg(4\cos^3\alpha -3\cos\alpha \bigg)+1=-2\sin^22\alpha -\cos3\alpha +1=\\ \\ =\bigg(1-2\sin^22\alpha \bigg)-\cos3\alpha =\cos4\alpha -\cos3\alpha =-2\sin \dfrac{7\alpha }{2}\sin \dfrac{\alpha }{2}$

Что и требовалось доказать.

Answer 2

4cos³a-3cosa=cos3a
1-2sin²a=cos2a
2sinacosa=sin2a

8cos²a(cos²a-1)-(4cos³a-3cosa)+1=8cos²a*(-sin²a)-cos3a+1=
=-2sin²2a+1-cos3a=cos4a-cos3a=-2sin[(4a-3a)/2]*sin[4a+3a)/2]=
=-2sin(a/2)sin(7a/2)