Question

Найти частные решения однородных диф уравнений второго порядка а) y''+y'-6y=0 y(0)=3,y'(0)=1; б) y"-6y'+9y=0,y(0)=1,y'(0)=1

Answer 1

А)
$y''+y'-6y=0$
$y=e^{kx}$
$(e^{kx})''+(e^{kx})'-6e^{kx}=0$
$k^2e^{kx}+ke^{kx}-6e^{kx}=0$
$e^{kx}(k^2+k-6)=0$
$k^2+k-6=0$
$(k+3)(k-2)=0$

$y=C_1e^{-3x}+C_2e^{2x}$

$\left \{ {{C_1e^{-3*0}+C_2e^{2*0}=3} \atop {-3C_1e^{-3*0}+2C_2e^{2*0}=1}} \right.$
$\left \{ {{C_1+C_2=3} \atop {-3C_1+2C_2=1}} \right.$
$\left \{ {{C_1=3-C_2} \atop {-3C_1+2C_2=1}} \right.$
$\left \{ {{C_1=3-C_2} \atop {-3(3-C_2)+2C_2=1}} \right.$
$\left \{ {{C_1=3-C_2} \atop {-9+3C_2+2C_2=1}} \right.$
$\left \{ {{C_1=3-C_2} \atop {5C_2=10}} \right.$
$\left \{ {{C_1=3-C_2} \atop {C_2=2}} \right.$
$\left \{ {{C_1=3-2=1} \atop {C_2=2}} \right.$

$y=e^{-3x}+2e^{2x}$

б)
$y''-6y'+9y=0$
$y=e^{kx}$
$(e^{kx})''-6(e^{kx})'+9e^{kx}=0$
$k^2e^{kx}-6ke^{kx}+9e^{kx}=0$
$e^{kx}(k^2-6k+9)=0$
$k^2-6k+9=0$
$(k-3)^2=0$
$k_1=k_2=3$
$Y=C_1e^{3x}+C_2xe^{3x}$

$\left \{ {{C_1e^{3*0}+C_2*0*e^{3*0}=1} \atop {3C_1e^{3*0}+C_2e^{3*0}+3C_2*0*e^{3*0}=1}} \right.$
$\left \{ {{C_1=1} \atop {3C_1+C_2=1}} \right.$
$\left \{ {{C_1=1} \atop {3+C_2=1}} \right.$
$\left \{ {{C_1=1} \atop {C_2=-2}} \right.$

$Y=e^{3x}-2xe^{3x}$