Question

Чему равно значение функции у=(x^3)/3+(x^2)/2-2x-7/3 в точке максимума

Answer 1

Дана функция у=(x^3)/3+(x^2)/2-2x-7/3.

Её производная равна: y' = (3х²/3)+(2х/2)-2.
Или y' = x² + x - 2.
Для нахождения экстремумов приравняем производную нулю.
x² + x - 2 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=1^2-4*1*(-2)=1-4*(-2)=1-(-4*2)=1-(-8)=1+8=9;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√9-1)/(2*1)=(3-1)/2=2/2=1;x_2=(-√9-1)/(2*1)=(-3-1)/2=-4/2=-2.
На промежутках находим знаки производной. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
x =  -3       -2       0       1        2
y' =  4        0       -2       0       4.
Как видим, точка максимума соответствует х = -2.
Подставляем в уравнение функции значение х = -2.
у = ((-2)³/3) + ((-2)²/2) -2*(-2) - (7/3) =
   = (-8/3) + (4/2) + 4 - (7/3) = 6/6 = 1.