Question

Доказить,что bc^2-(a^2-b^2)(a-b)=0 если известно,что угол а=3* угла в a,b,с-стороны лежащие напротив углов abc соответственно

Answer 1

<A=3*<B,
<A+<B+<C = 180°,
3<B + <B + <C = 180°,
отсюда выразим <C,
<C = 180° - 4<B,
По теореме синусов:
a/sin(<A) = b/sin(<B) = c/sin(<C),
a/sin(3<B) = b/sin(<B) = c/sin(180° - 4<B),
sin(180° - 4<B) = sin(4<B),
a/sin(3<B) = b/sin(<B) = c/sin(4<B) = t,
тогда
a = t*sin(3<B),
b = t*sin(<B),
c = t*sin(4<B),
левая часть данного в условии выражения =
= bc^2 - (a^2 - b^2)(a-b) = (t*sin(<B))*(t*sin(4<B))^2 - ( (t*sin(3<B))^2 -
- (t*sin(<B))^2 )*( t*sin(3<B) - t*sin(<B) ) = 
= (t^3)*( sin(<B)*sin²(4<B) ) - (t^3)*( sin²(3<B) - sin²(<B) )*(sin(3<B)-sin(<B))=
= (t^3)*(  sin(<B)*sin²(4<B) - (sin(3<B) - sin(<B))²·(sin(3<B) + sin(<B)) ) ) = W
теперь по тригонометрическим формулам:
sin(x) - sin(y) = 2*sin((x-y)/2)*cos((x+y)/2);
sin(x)+ sin(y) = 2*sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2);
sin(3<B) - sin(<B) = 2*sin(<B)*cos(2<B);
sin(3<B)+ sin(<B) = 2*sin(2<B)*cos(<B).

W = (t^3)*( sin(<B)*sin²(4<B) - (2*sin(<B)*cos(2<B))²·2*sin(2<B)*cos(<B) ) =
= (t^3)*( sin(<B)*sin²(4<B) - 8*sin²(<B)*cos²(2<B)*sin(2<B)*cos(<B) ) = 
= (t^3)*sin(<B)*( sin²(4<B) - 8*sin(<B)*cos(<B)*sin(2<B)*cos²(2<B) = Q
по тригонометрическим формулам:
2*sin(x)*cos(x) = sin(2x);
2*sin(<B)*cos(<B) = sin(2<B).

Q = (t^3)*sin(<B)*( sin²(4<B) - 4*sin(2<B)*sin(2<B)*cos²(2<B) ) = V
по триг. формулам:
4sin(2<B)*sin(2<B)*cos²(2<B) = 4*sin²(2<B)*cos²(2<B) =
= (2*sin(2<B)*cos(2<B))² = (sin(4<B))² = sin²(4<B).

V = (t^3)*sin(<B)*( sin²(4<B) - sin²(4<B) ) = (t^3)*sin(<B)*0 = 0.
ч.т.д.