Question

Проведите по общей схеме исследование функции и постройте ее график. с подробным решением. функция: f(x)=x³−1 1.найти области определения и значений данной функции f. 2.выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, т. е. является ли функция f: а) четной или нечетной; б) периодической. 3.вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат. 4.найти промежутки знакопостоянства функции f. 5.выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает. 6.найти точки экстремума, вид экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f в этих точках. 7.исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек, не входящих в область определения и при больших (по модулю) значениях аргумента.

Answer 1

Дана функция: f(x)=x³−1.
1.Область определения и значений данной функции f: ограничений нет - x ∈ R.
2.Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, т. е. является ли функция f: 
а) четной или нечетной: f(-x) = -x³−1 ≠ f(x).
                                         f(-x) = -(x³+1) ≠ -f(x).
Значит, функция не чётная и не нечётная.
б) периодической: функция не периодическая.
3.Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат.
С осью Оу при х =0: у = 0³ - 1 = -1.
С осью Ох при у = 0: 0 = х³ - 1,  х³ = 1,  х = ∛1 = 1.
4.Найти промежутки знакопостоянства функции f.
Находим производную: y' = 3x².
Так как производная положительна на всей области определения, то функция только возрастающая.
5.Выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает: в соответствии с пунктом 4 функция возрастает от -∞ до +∞.
6.Найти точки экстремума, вид экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f в этих точках.
Приравниваем производную нулю; 3х² = 0, х = 0.
Имеем 2 промежутка монотонности функции
На промежутках находят знаки производной. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
Производная y' = 3x² только положительна.
Так как производная не имеет промежутков смены знака, значит, функция не имеет ни минимума, ни максимума.
7.Исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек, не входящих в область определения и при больших (по модулю) значениях аргумента: таких точек нет.