Пошаговое объяснение:
Обозначим бассейн как нечто целое, которое нам нужно наполнить (за единичку, 1).
Мы хотим знать, за сколько часов можно наполнить бассейн через каждую трубу. Обозначим за х время, за которое бассейн наполнит первая труба (она сделает это быстрее, поэтому время из двух труб наименьшее). Тогда (х+5) ч - это время, за которое бассейн наполнит ВТОРАЯ труба.
Отсюда (а также зная, что бассейн мы обозначили за 1) легко понять, что за 1 час первая труба наполнит 1/х бассейна, а вторая 1/(х+5) бассейна. Иными словами, мы обозначили производительность обеих труб через неизвестную х. Когда трубы работают одновременно, их производительность следует сложить (за час они наполнят большУю часть бассейна, чем по отдельности). Время одновременной работы нам известно - 3ч 20 минут или 10/3 часов. Таким образом, получаем, что за 1 час обе трубы наполнят 1/(10/3)= 1*3/10= 3/10 бассейна
Теперь следует сложить производительность обеих труб, выраженных через неизвестную х, и уравнять с найденной нами производительностью из условия:
Первый корень нам не подходит - производительность не может быть отрицательный. Зато второй подходит (положительный), х=5. Таким образом, через первую трубу бассейн заполнится за 5 часов, а через вторую - за х+5=5+5=10 часов
1/n(n+1) = 1/n - 1/n+1
Пусть есть сумма чисел:
1/p(p+1) + 1/(p+1)(p+2) + ... + 1/(p+q)(p+q+1).
Эта сумма равна:
1/p - 1/(p+1) + 1/(p+1) - 1/(p+2) +...+ 1/(p+q) - 1/(p+q+1) = 1/p - 1/(p+q+1)
Выберем случайное (достаточно большое для выполнения условия про 1/2000) k. Докажем, что между дробями 1/(k)(k+1) и 1/(k+1)(k+2) лежит хотя бы одно плохое число. Выберем простое число t, большее 2k(k+1)(k+2) (такое найдётся из-за бесконечности простых чисел) и найдём самую маленькую дробь (так как их хотя бы две) со знаменателем, равным t, и лежащую между 1/k(k+1) и 1/(k+1)(k+2). Такая найдётся, так как разность этих двух дробей больше дроби 1/t. Пусть эта дробь равна d/t (она несократима из-за простоты t).
Пусть d/t не является плохим числом. "Начальным членом" суммы чисел будет число, не меньшее 1/k(k+1). Пусть сумма всех дробей равна 1/p - 1/q. Тогда (q-p)/pq = d/t. Тогда либо p, либо q делится на t. Но это не может быть p, так как если p делится на t, то 1/p < d/t. Значит, q делится на t. Но так как мы знаем хотя бы две дроби со знаменателем t (между 1/k(k+1) и 1/(k+1)(k+2)), то мы не получим меньшую, так как p не больше k, а q не меньше t (мы можем попасть на большую из двух дробей со знаменателем t, но не на меньшую из-за малой величины "шага"). Противоречие.
Значит, d/t - плохое число. А оно "зависело" от k, следовательно, для каждого натурального k оно есть. А натуральных чисел бесконечно много, из чего и плохих дробей - тоже.
ответ: верно.
2)8*9:12=72:12=6
3)6*8:12=48:12=3